Номер 29.55, страница 138 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.55*. На рисунке 18 изображен график функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов a, b и c.

Рис. 16

Рис. 17

O, -1, 45°, $y = m$, $y = kx + b$, $y = ax^2 + dx + c$

Рис. 18

Для определения знаков коэффициентов $a$, $b$ и $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем ее график, представленный на рисунке 18.

1. Определение знака коэффициента $a$
Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Поскольку ветви параболы на графике направлены вниз, коэффициент $a$ является отрицательным.
$a < 0$.

2. Определение знака коэффициента $c$
Коэффициент $c$ — это значение функции при $x=0$, то есть ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Из рисунка 18 видно, что парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в точке с отрицательной ординатой). Следовательно, коэффициент $c$ отрицательный.
$c < 0$.

3. Определение знака коэффициента $b$
Знак коэффициента $b$ связан с расположением вершины параболы. Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
На графике вершина параболы находится в левой полуплоскости (во второй координатной четверти), что означает, что ее абсцисса $x_0$ отрицательна:
$x_0 < 0$
Следовательно, $-\frac{b}{2a} < 0$.
Умножив обе части неравенства на $-1$, мы изменим знак неравенства на противоположный:
$\frac{b}{2a} > 0$
Это неравенство означает, что $b$ и $2a$ имеют одинаковые знаки. Мы уже установили, что $a < 0$, значит и $2a < 0$. Для того чтобы дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть отрицательным.
$b < 0$.

Таким образом, все три коэффициента $a$, $b$ и $c$ отрицательны.

Ответ: $a < 0$, $b < 0$, $c < 0$.