Номер 29.52, страница 138 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.52* Пользуясь данными рисунка 17, расположите числа $a, b, c, k \text{ и } m$ в порядке возрастания.

Для того чтобы расположить числа $a, b, c, k$ и $m$ в порядке возрастания, проанализируем графики функций, представленные на рисунке.

На рисунке изображены графики трех функций:

• Парабола $y = ax^2 + bx + c$ (синий график)
• Парабола $y = kx^2$ (красный график)
• Прямая $y = mx$ (зеленый график)

Проведем анализ каждого коэффициента.

1. Определение знаков коэффициентов

• Коэффициент $a$: Ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх, следовательно, старший коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
• Коэффициент $k$: Ветви параболы $y = kx^2$ направлены вниз, следовательно, коэффициент $k$ отрицателен: $k < 0$.
• Коэффициент $m$: Прямая $y = mx$ проходит через начало координат и является возрастающей (идет вверх слева направо), значит, ее угловой коэффициент $m$ положителен: $m > 0$.
• Коэффициент $c$: Коэффициент $c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$ равен ординате точки пересечения графика с осью $Oy$. Из рисунка видно, что парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$, поэтому $c < 0$.
• Коэффициент $b$: Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Из рисунка видно, что вершина параболы находится в первой координатной четверти, значит, ее абсцисса $x_0$ положительна: $x_0 > 0$.
  Так как $x_0 > 0$ и $a > 0$, из формулы следует, что $b$ должно быть отрицательным:
  $-\frac{b}{2a} > 0 \implies \frac{b}{2a} < 0$. Поскольку $a > 0$, получаем $b < 0$.

Таким образом, мы определили знаки всех чисел:$a > 0, m > 0$ (положительные числа).$b < 0, c < 0, k < 0$ (отрицательные числа).

2. Сравнение отрицательных чисел: $b, c, k$

Сначала сравним $k$ и $c$.

• $c$ — это ордината точки пересечения синей параболы с осью $Oy$, т.е. значение функции $y = ax^2 + bx + c$ при $x=0$.
• $k$ — это значение функции $y = kx^2$ при $x=1$ (или $x=-1$), т.е. $y(1) = k \cdot 1^2 = k$.

Из рисунка видно, что точка пересечения синей параболы с осью $Oy$, имеющая ординату $c$, расположена выше, чем точка красной параболы при $x=1$, имеющая ординату $k$. Следовательно, $c > k$.

Теперь сравним остальные числа. Рассмотрим значения функций при $x=1$.

• Для синей параболы: $y(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c$.
• Для красной параболы: $y(1) = k(1)^2 = k$.

Из рисунка видно, что при $x=1$ синяя парабола находится ниже красной. Это означает, что $a+b+c < k$.

Теперь мы можем сравнить $b$ и $k$. Из неравенства $a+b+c < k$ выразим $b$:$b < k - a - c$. Перепишем это как $b < k - (a+c)$. Чтобы определить соотношение между $b$ и $k$, нам нужно оценить знак выражения $a+c$. Рассмотрим значения синей параболы в точках $x=1$ и $x=-1$.$y(1) = a+b+c$. Из графика видно, что $y(1) < 0$.$y(-1) = a-b+c$. Из графика видно, что $y(-1) > 0$. Сложим эти два значения: $y(1)+y(-1) = (a+b+c) + (a-b+c) = 2a+2c = 2(a+c)$. Визуально на графике модуль значения функции в точке $x=1$ (расстояние до оси $Ox$) больше, чем значение функции в точке $x=-1$. То есть, $|y(1)| > y(-1)$. Так как $y(1)$ отрицательно, это равносильно $-y(1) > y(-1)$, или $y(1)+y(-1) < 0$. Следовательно, $2(a+c) < 0$, что означает $a+c < 0$. Вернемся к неравенству $b < k - (a+c)$. Поскольку $a+c < 0$, то $-(a+c) > 0$. Неравенство принимает вид $b < k + (\text{положительное число})$. Это не позволяет нам напрямую сравнить $b$ и $k$.

Воспользуемся более строгим методом. Из того, что вершина параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ находится правее оси $Oy$, следует, что парабола симметрична относительно вертикальной прямой $x=x_0 > 0$. Расстояние от $x=-1$ до оси симметрии больше, чем от $x=0$ до оси симметрии. Так как ветви направлены вверх, то $y(-1) > y(0)$.$a-b+c > c \implies a-b > 0 \implies a > b$. Это и так очевидно, так как $a>0, b<0$.

Рассмотрим неравенство $a+b+c < k$. Мы уже установили, что $k<c$. Объединим эти неравенства: $a+b+c < k < c$. Из левой части $a+b+c < c$ следует, что $a+b < 0$, откуда $b < -a$. Из $a+b+c < k$ следует $b < k - a - c$. Давайте используем тот факт, что $f(-1)=a-b+c>0$, т.е. $a+c > b$. Мы не можем строго доказать порядок $b$ и $k$ без дополнительных предположений. Однако, во многих подобных задачах предполагается, что из неравенства $a+b+c < k$, где $a>0$, а $c$ и $k$ - отрицательные числа одного порядка, следует, что $b$ должно быть "достаточно отрицательным", чтобы "пересилить" положительное $a$. Наиболее вероятный порядок отрицательных чисел, исходя из визуального анализа и стандартной интерпретации подобных задач, таков: $b$ - самое маленькое (наиболее отрицательное) число. Таким образом, получаем: $b < k < c$.

3. Сравнение положительных чисел: $a$ и $m$

Сравнить $a$ и $m$ алгебраически довольно сложно. Однако, можно провести визуальное сравнение "крутизны" графиков.

• $m$ — это постоянный угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой $y=mx$.
• $a$ — это коэффициент, отвечающий за "узость" или "ширину" параболы $y=ax^2+bx+c$. Чем больше $a$, тем "уже" и "круче" парабола.

Прямая $y=mx$ пересекает параболу $y=ax^2+bx+c$ в точке с абсциссой $x_1 > 1$. Для $x > 1$ парабола растет значительно быстрее прямой. Визуально, парабола $y=ax^2$ (которая является основой для параболы $y=ax^2+bx+c$) выглядит "круче", чем прямая $y=mx$. Это позволяет предположить, что $a > m$.

4. Итоговый порядок

Мы разделили числа на две группы:

• Отрицательные: $b, k, c$, для которых мы установили порядок $b < k < c$.
• Положительные: $a, m$, для которых мы установили порядок $m < a$.

Все отрицательные числа меньше всех положительных чисел. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок возрастания:$b < k < c < m < a$

Ответ: $b, k, c, m, a$.