Номер 29.53, страница 138 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.53* Квадратичная функция задана формулой $y = ax^2 - (a+2)x + 2$. Найдите наибольшее целое число, принадлежащее множеству значений данной функции, если ее осью симметрии является прямая $x = -0,5$.

Для нахождения наибольшего целого числа из множества значений функции, необходимо сначала определить это множество значений. Множество значений квадратичной функции зависит от направления ветвей параболы и ординаты ее вершины.

1. Нахождение параметра a

Ось симметрии параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находится по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае функция имеет вид $y = ax^2 - (a+2)x + 2$. Коэффициенты равны: $A=a$, $B=-(a+2)$, $C=2$.

Подставим эти коэффициенты в формулу для оси симметрии:

$x_v = -\frac{-(a+2)}{2a} = \frac{a+2}{2a}$

По условию задачи, осью симметрии является прямая $x = -0,5$. Приравняем полученное выражение к этому значению:

$\frac{a+2}{2a} = -0,5$

$\frac{a+2}{2a} = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2a$ (при условии, что $a \neq 0$, что является обязательным для квадратичной функции):

$a+2 = -a$

$2a = -2$

$a = -1$

2. Определение множества значений функции

Мы нашли, что $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что в вершине параболы функция достигает своего наибольшего значения. Множество значений функции будет иметь вид $(-\infty; y_v]$, где $y_v$ — ордината вершины.

Подставим значение $a = -1$ в исходное уравнение функции:

$y = -1 \cdot x^2 - (-1+2)x + 2$

$y = -x^2 - x + 2$

Наибольшее значение функции достигается в ее вершине, абсцисса которой нам известна: $x_v = -0,5$. Найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v$ в уравнение параболы:

$y_v = -(-0,5)^2 - (-0,5) + 2$

$y_v = -(0,25) + 0,5 + 2$

$y_v = -0,25 + 2,5$

$y_v = 2,25$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $2,25$, а множество ее значений — это промежуток $(-\infty; 2,25]$.

3. Нахождение наибольшего целого числа

Требуется найти наибольшее целое число, принадлежащее множеству значений $(-\infty; 2,25]$. Очевидно, что самым большим целым числом, которое меньше или равно $2,25$, является число $2$.

Ответ: 2