Номер 29.54, страница 138 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.54*. Найдите значение выражения $k + b$, где $y = kx + b$ – уравнение прямой, проходящей через точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x$ и $y = 6x - x^2$.

Чтобы найти значение выражения $k+b$, сначала определим точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x$ и $y = 6x - x^2$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 2x = 6x - x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены:

$x^2 + x^2 + 2x - 6x = 0$
$2x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 2) = 0$

Отсюда находим абсциссы (координаты $x$) точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$) точек пересечения, подставив полученные значения $x$ в уравнение любой из исходных функций. Используем, например, $y = x^2 + 2x$:

При $x_1 = 0$, получаем $y_1 = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты (0, 0).

При $x_2 = 2$, получаем $y_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8$. Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты (2, 8).

Теперь нам нужно найти коэффициенты $k$ и $b$ для уравнения прямой $y = kx + b$, которая проходит через эти две точки: (0, 0) и (2, 8). Для этого подставим координаты точек в уравнение прямой и составим систему уравнений:

$\begin{cases} 0 = k \cdot 0 + b \\ 8 = k \cdot 2 + b \end{cases}$

Из первого уравнения системы сразу следует, что $b = 0$.

Подставим это значение $b$ во второе уравнение:

$8 = 2k + 0$
$2k = 8$
$k = 4$

Мы нашли значения коэффициентов: $k = 4$ и $b = 0$.

Наконец, вычислим значение искомого выражения $k+b$:

$k + b = 4 + 0 = 4$

Ответ: 4