Номер 29.57, страница 139 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.57*. Найдите множество значений функции

$y = (x+1)^2 + (x-3)^2$

Для нахождения множества значений функции $y = (x+1)^2 + (x-3)^2$ необходимо определить ее наименьшее и наибольшее значения. Преобразуем данное выражение, чтобы привести его к стандартному виду квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Раскроем скобки в выражении, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$y = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2)$

$y = (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 6x + 9)$

2. Приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$y = x^2 + x^2 + 2x - 6x + 1 + 9$

$y = 2x^2 - 4x + 10$

3. Полученная функция $y = 2x^2 - 4x + 10$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в точке вершины параболы и не имеет наибольшего значения (она уходит в $+\infty$).

4. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса (координата $x$) вершины находится по формуле:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a=2$ и $b=-4$, поэтому:

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

5. Чтобы найти наименьшее значение функции, подставим найденное значение $x_v=1$ в уравнение функции:

$y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 10 = 2 - 4 + 10 = 8$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 8. Это значение достигается при $x=1$.

Поскольку наименьшее значение функции равно 8, а ветви параболы направлены вверх, функция может принимать любые значения, которые больше или равны 8.

Следовательно, множество значений функции (или область значений) — это числовой промежуток $[8; +\infty)$.

Ответ: $[8; +\infty)$