Номер 29.63, страница 140 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.63*. Для квадратичной функции $f(x) = -3x^2 + 24x$ найдите:

a) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения;

б) промежуток возрастания функции;

в) множество значений функции;

г) все значения аргумента, для которых выполняется неравенство $f(x) \le 0$.

Дана квадратичная функция $f(x) = -3x^2 + 24x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -3 < 0$.

а) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения;
Для нахождения этих значений решим неравенство $f(x) > 0$.
$-3x^2 + 24x > 0$
Сначала найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$-3x^2 + 24x = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $-3x$:
$-3x(x - 8) = 0$
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (0; 8)$.

б) промежуток возрастания функции;
Промежутки возрастания и убывания квадратичной функции определяются положением ее вершины. Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -3$ и $b = 24$.
$x_в = -\frac{24}{2 \cdot (-3)} = -\frac{24}{-6} = 4$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает на промежутке левее вершины, то есть при $x \le x_в$.
Ответ: $(-\infty; 4]$.

в) множество значений функции;
Множество значений функции (или область значений) — это все значения, которые может принимать $f(x)$. Для параболы с ветвями, направленными вниз, максимальное значение достигается в вершине.
Мы уже нашли абсциссу вершины $x_в = 4$.
Теперь найдем ординату вершины (максимальное значение функции), подставив $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = f(4) = -3(4)^2 + 24(4) = -3 \cdot 16 + 96 = -48 + 96 = 48$.
Таким образом, функция принимает значения от $-\infty$ до 48 включительно.
Ответ: $(-\infty; 48]$.

г) все значения аргумента, для которых выполняется неравенство $f(x) \le 0$.
Для нахождения этих значений решим неравенство $f(x) \le 0$.
$-3x^2 + 24x \le 0$
Нули функции, как мы нашли в пункте а), равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает неположительные (отрицательные или равные нулю) значения на промежутках вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух промежутков.
Ответ: $(-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$.