Номер 29.67, страница 140 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.67*. Найдите все значения числа $p$, при которых вершина параболы $y = \frac{1}{3}x^2 - 2px + 12p$ расположена выше оси $Ox$.

Уравнение параболы имеет вид $y = \frac{1}{3}x^2 - 2px + 12p$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны:

• $a = \frac{1}{3}$
• $b = -2p$
• $c = 12p$

Вершина параболы должна быть расположена выше оси $Ox$. Это означает, что ордината вершины, обозначаемая как $y_в$, должна быть строго больше нуля ($y_в > 0$).

Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$ вычисляются по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

$y_в = y(x_в) = ax_в^2 + bx_в + c$

Сначала найдем абсциссу вершины $x_в$:

$x_в = -\frac{-2p}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2p}{\frac{2}{3}} = 2p \cdot \frac{3}{2} = 3p$

Далее, подставим значение $x_в = 3p$ в исходное уравнение параболы, чтобы найти ординату вершины $y_в$:

$y_в = \frac{1}{3}(3p)^2 - 2p(3p) + 12p$

$y_в = \frac{1}{3}(9p^2) - 6p^2 + 12p$

$y_в = 3p^2 - 6p^2 + 12p$

$y_в = -3p^2 + 12p$

Теперь, согласно условию задачи, решим неравенство $y_в > 0$:

$-3p^2 + 12p > 0$

Чтобы упростить неравенство, разделим обе его части на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$p^2 - 4p < 0$

Разложим левую часть на множители:

$p(p - 4) < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $p(p - 4) = 0$. Корнями являются $p_1 = 0$ и $p_2 = 4$.

Графиком функции $f(p) = p^2 - 4p$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между ее корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(0; 4)$.

Ответ: $p \in (0; 4)$.