Номер 29.68, страница 140 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.68*. Найдите все значения числа $a$, при которых абсцисса и ордината вершины параболы $y=(x-9a)^2+a^2+7a+6$ отрицательны.

Уравнение параболы представлено в каноническом виде $y = (x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — это координаты ее вершины.

Из данного уравнения $y = (x - 9a)^2 + a^2 + 7a + 6$ находим координаты вершины параболы:

• Абсцисса вершины: $x_v = 9a$
• Ордината вершины: $y_v = a^2 + 7a + 6$

По условию задачи, и абсцисса, и ордината вершины должны быть отрицательными. Это приводит к системе из двух неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решаем первое неравенство: $9a < 0$ Разделим обе части на 9: $a < 0$

2. Решаем второе неравенство: $a^2 + 7a + 6 < 0$ Сначала найдем корни квадратного уравнения $a^2 + 7a + 6 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 + a_2 = -7$ $a_1 \cdot a_2 = 6$ Отсюда $a_1 = -6$ и $a_2 = -1$.

Так как ветви параболы $f(a) = a^2 + 7a + 6$ направлены вверх (коэффициент при $a^2$ положителен), то неравенство $a^2 + 7a + 6 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, решение второго неравенства: $-6 < a < -1$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств, то есть найти значения $a$, которые удовлетворяют и $a < 0$, и $-6 < a < -1$.

Интервал $(-6, -1)$ полностью входит в область $a < 0$, поэтому пересечением этих двух множеств является сам интервал $(-6, -1)$.

Ответ: $a \in (-6; -1)$.