Номер 30.6, страница 142 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.6. Решите квадратное неравенство:

а) $-5x^2 + 8x - 3 \le 0;$

б) $-x^2 + 3x + 4 > 0;$

в) $-7x^2 + 6x - 13 < 0;$

г) $-x^2 + 12x - 36 \ge 0.$

а) $-5x^2 + 8x - 3 \le 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-5x^2 + 8x - 3 = 0$. Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$5x^2 - 8x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь рассмотрим функцию $y = -5x^2 + 8x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ равен -5, что меньше нуля). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0.6$ и $x=1$. Нам нужно найти, где $y \le 0$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на промежутках слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $x \le 0.6$ или $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.6] \cup [1; +\infty)$.

б) $-x^2 + 3x + 4 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим на -1:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 3x + 4$. Ветви этой параболы направлены вниз ($a = -1 < 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=4$. Нам нужно найти, где $y > 0$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает положительные значения между корнями. Таким образом, решение неравенства: $-1 < x < 4$.

Ответ: $x \in (-1; 4)$.

в) $-7x^2 + 6x - 13 < 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $-7x^2 + 6x - 13 = 0$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-13) = 36 - 364 = -328$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим функцию $y = -7x^2 + 6x - 13$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. $a = -7 < 0$). Так как у параболы нет точек пересечения с осью Ox и ее ветви направлены вниз, вся парабола находится ниже оси Ox. Это означает, что значение функции $y$ всегда отрицательно при любом значении $x$. Неравенство $-7x^2 + 6x - 13 < 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $-x^2 + 12x - 36 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 12x + 36 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом:

$(x-6)^2 \le 0$

Выражение $(x-6)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x-6)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x-6)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x-6)^2 = 0$. Это происходит при $x - 6 = 0$, то есть $x = 6$.

Альтернативное решение: рассмотрим функцию $y = -x^2 + 12x - 36$. Найдем корни уравнения $-x^2 + 12x - 36 = 0$. $x^2 - 12x + 36 = 0$. $(x-6)^2 = 0$. Уравнение имеет один корень $x=6$. Это означает, что парабола $y = -x^2 + 12x - 36$ касается оси Ox в точке $x=6$. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция принимает значение 0 в точке $x=6$ и отрицательные значения при всех остальных $x$. Нам нужно найти, где $y \ge 0$. Это условие выполняется только в точке касания, где $y=0$.

Ответ: $x=6$.