Номер 30.12, страница 142 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.12. Решите совокупность неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 9x - 10 > 0, \\ x \le 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 + 5x + 2 \le 0, \\ 2 - x > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 10x < 0, \\ 12 - 4x \ge 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0, \\ 1 - 0,1x \le 0. \end{cases}$

а) Решим совокупность неравенств:$ \left[ \begin{array}{l} x^2 - 9x - 10 > 0, \\ x \le 0. \end{array} \right. $
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 9x - 10 > 0$.
Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = 9$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -10$. Отсюда находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 10$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 - 9x - 10$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 9x - 10 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (10, +\infty)$.
Решением второго неравенства $x \le 0$ является промежуток $x \in (-\infty, 0]$.
Решение совокупности неравенств — это объединение множеств решений каждого неравенства. Объединим полученные множества: $(-\infty, -1) \cup (10, +\infty)$ и $(-\infty, 0]$.
Объединение этих множеств дает $x \in (-\infty, 0] \cup (10, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup (10, +\infty)$.

б) Решим совокупность неравенств:$ \left[ \begin{array}{l} 2x^2 + 5x + 2 \le 0, \\ 2 - x > 0. \end{array} \right. $
Сначала решим первое неравенство: $2x^2 + 5x + 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 + 5x + 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-2 \le x \le -0,5$. Решение первого неравенства: $x \in [-2, -0,5]$.
Теперь решим второе неравенство: $2 - x > 0$.
Перенеся $x$ в правую часть, получаем $2 > x$, или $x < 2$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2)$.
Найдем объединение множеств решений: $[-2, -0,5]$ и $(-\infty, 2)$. Так как отрезок $[-2, -0,5]$ полностью содержится в луче $(-\infty, 2)$, их объединением будет сам луч.
Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

в) Решим совокупность неравенств:$ \left[ \begin{array}{l} x^2 - 10x < 0, \\ 12 - 4x \ge 0. \end{array} \right. $
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 10x < 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 10) < 0$. Корни уравнения $x(x-10)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=10$.
Ветви параболы $y = x^2 - 10x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $0 < x < 10$. Решение первого неравенства: $x \in (0, 10)$.
Решим второе неравенство: $12 - 4x \ge 0$.
$12 \ge 4x$, разделим обе части на 4: $3 \ge x$, или $x \le 3$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3]$.
Найдем объединение множеств решений: $(0, 10)$ и $(-\infty, 3]$. Объединяя эти два множества, мы получаем все числа, которые меньше или равны 3, а также числа от 3 до 10 (не включая 10). Таким образом, объединенное множество - это все числа, меньшие 10.
Ответ: $x \in (-\infty, 10)$.

г) Решим совокупность неравенств:$ \left[ \begin{array}{l} x^2 - 9 \ge 0, \\ 1 - 0,1x \le 0. \end{array} \right. $
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 9 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) \ge 0$. Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется при значениях $x$ вне отрезка между корнями: $x \le -3$ или $x \ge 3$. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $1 - 0,1x \le 0$.
$1 \le 0,1x$. Умножим обе части неравенства на 10: $10 \le x$, или $x \ge 10$. Решение второго неравенства: $x \in [10, +\infty)$.
Найдем объединение множеств решений: $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$ и $[10, +\infty)$.
Множество $[10, +\infty)$ является подмножеством множества $[3, +\infty)$. Поэтому объединение множества $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$ с его подмножеством $[10, +\infty)$ равно самому большему множеству.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.