Номер 30.8, страница 142 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.8. Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0, \\ x > 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4x^2 - 3x - 1 < 0, \\ x + 2 > 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - 10x + 9 \ge 0, \\ x - 1 \le 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 2x^2 - 5x - 18 \le 0, \\ 4x + 8 > 0. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \\ x > 0 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни). Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.

2. Второе неравенство системы: $x > 0$. Его решением является интервал $(0, +\infty)$.

3. Найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty, 1] \cup [4, +\infty)) \cap (0, +\infty)$.

Это пересечение состоит из двух промежутков: $(0, 1]$ и $[4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [4, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 4x^2 - 3x - 1 < 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $4x^2 - 3x - 1 < 0$. Найдем корни уравнения $4x^2 - 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 3x - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\frac{1}{4}, 1)$.

2. Решим второе неравенство $x + 2 > 0$, откуда получаем $x > -2$. Решение второго неравенства: $x \in (-2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\frac{1}{4}, 1) \cap (-2, +\infty)$. Так как $-\frac{1}{4} > -2$, решением системы является интервал $(-\frac{1}{4}, 1)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}, 1)$.

в) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 10x + 9 \ge 0 \\ x - 1 \le 0 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $x^2 - 10x + 9 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

Ветви параболы $y = x^2 - 10x + 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 9$. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [9, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x - 1 \le 0$, откуда $x \le 1$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1]$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, 1] \cup [9, +\infty)) \cap (-\infty, 1]$. Общей частью является промежуток $(-\infty, 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

г) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x^2 - 5x - 18 \le 0 \\ 4x + 8 > 0 \end{cases}$.

1. Решим первое неравенство $2x^2 - 5x - 18 \le 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 18 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 13}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 13}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 5x - 18$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями. Решение первого неравенства: $x \in [-2, 4.5]$.

2. Решим второе неравенство $4x + 8 > 0$, откуда $4x > -8$, то есть $x > -2$. Решение второго неравенства: $x \in (-2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-2, 4.5] \cap (-2, +\infty)$. Пересечением является полуинтервал $(-2, 4.5]$, так как точка $x=-2$ не входит во второй промежуток.

Ответ: $x \in (-2, 4.5]$.