Номер 30.7, страница 142 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.7. Найдите все значения аргумента, при которых функция:

а) $y = -x^2 + 9x - 8$ принимает положительные значения;

б) $y = 2x - x^2 - 1$ принимает отрицательные значения.

а) Чтобы найти все значения аргумента, при которых функция $y = -x^2 + 9x - 8$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$-x^2 + 9x - 8 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 - 9x + 8 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. С помощью теоремы Виета находим корни: сумма корней $x_1 + x_2 = 9$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 9x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции будут отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 9x + 8 < 0$ — это интервал $(1; 8)$.

Ответ: $x \in (1; 8)$.

б) Чтобы найти все значения аргумента, при которых функция $y = 2x - x^2 - 1$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

$2x - x^2 - 1 < 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде и умножим на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$-x^2 + 2x - 1 < 0$

$x^2 - 2x + 1 > 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$(x - 1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $x = 1$. Следовательно, строгое неравенство $(x - 1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$, кроме $x = 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.