Номер 30.4, страница 141 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.4. Если ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вверх и $D = 0$, то неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$:

а) имеет одно решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечно много решений.

Выберите правильный ответ.

Для решения этой задачи проанализируем условия, наложенные на параболу $y = ax^2 + bx + c$.

1. Ветви параболы направлены вверх. Это свойство определяется знаком коэффициента $a$ при $x^2$. Если ветви направлены вверх, это означает, что $a > 0$.

2. Дискриминант $D = 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Условие $D = 0$ означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один действительный корень. Геометрически это значит, что график функции, парабола, не пересекает ось абсцисс ($Ox$), а касается ее в одной-единственной точке. Эта точка касания является вершиной параболы.

Объединим оба условия. Мы имеем параболу, ветви которой направлены вверх ($a > 0$), и она касается оси $Ox$ в своей вершине ($D=0$). Вершина параболы в данном случае является ее точкой минимума. Так как вершина лежит на оси $Ox$, ее ордината (значение $y$) равна нулю. Поскольку это точка минимума, а ветви направлены вверх, все остальные точки параболы лежат выше оси $Ox$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$.

Теперь рассмотрим неравенство, которое требуется решить: $ax^2 + bx + c \le 0$.

Это неравенство выполняется, когда выражение $ax^2 + bx + c$ меньше или равно нулю. Исходя из нашего анализа, это выражение никогда не бывает меньше нуля (неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений). Оно может быть только равно нулю.

Равенство $ax^2 + bx + c = 0$ выполняется только в одной точке — в вершине параболы, при $x = -\frac{b}{2a}$.

Следовательно, неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$ имеет ровно одно решение.

Сравнивая этот вывод с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант а).

Ответ: а)