Номер 29.66, страница 140 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.66*. При каком значении числа $a$ график функции $y = ax^2 - 6x + 1$ касается оси абсцисс?

График функции $y = ax^2 - 6x + 1$ представляет собой параболу (при условии, что $a \neq 0$). Касание графика оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что парабола имеет с этой осью ровно одну общую точку. Это происходит в том случае, когда вершина параболы лежит на оси $Ox$.

Точки пересечения или касания графика с осью абсцисс можно найти, решив уравнение $y=0$, то есть $ax^2 - 6x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение. Условием того, что квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня), является равенство его дискриминанта ($D$) нулю. Дискриминант для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

Для нашего уравнения $ax^2 - 6x + 1 = 0$ коэффициенты следующие: $A=a$, $B=-6$, $C=1$.

Вычислим дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 36 - 4a$.

Чтобы выполнить условие касания, приравняем дискриминант к нулю: $D = 0$ $36 - 4a = 0$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $a$: $4a = 36$ $a = \frac{36}{4}$ $a = 9$

При $a=9$ функция принимает вид $y=9x^2-6x+1$. Уравнение $9x^2-6x+1=0$ можно переписать в виде полного квадрата $(3x-1)^2=0$. Оно имеет единственный корень $x=\frac{1}{3}$. Это означает, что график функции касается оси абсцисс в точке $(\frac{1}{3}; 0)$.

Также следует рассмотреть случай, когда $a=0$. Функция становится линейной: $y = -6x + 1$. Ее график — это прямая линия, которая пересекает ось абсцисс в одной точке ($x=\frac{1}{6}$), но не "касается" ее. Понятие касания для параболы подразумевает, что вершина лежит на оси. Прямая линия не может касаться другой прямой (если они не совпадают), она ее только пересекает. Поэтому значение $a=0$ не является решением задачи.

Ответ: $a=9$.