Номер 29.64, страница 140 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.64*. Задайте формулой квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке 21.

Чтобы задать формулой квадратичную функцию, график которой изображен на рисунке, воспользуемся её представлением в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v; y_v)$ — это координаты вершины параболы.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(1; 5)$. Подставим эти значения в формулу:
$x_v = 1$
$y_v = 5$
$y = a(x - 1)^2 + 5$

Теперь найдем значение коэффициента $a$. Для этого выберем на графике любую другую точку, через которую проходит парабола. Удобно взять точку пересечения с осью ординат, её координаты $(0; 3)$. Подставим значения $x = 0$ и $y = 3$ в полученное уравнение:
$3 = a(0 - 1)^2 + 5$
$3 = a(-1)^2 + 5$
$3 = a \cdot 1 + 5$
$a = 3 - 5$
$a = -2$

Мы нашли коэффициент $a$. Теперь можно записать итоговую формулу функции. Подставим $a = -2$ в уравнение $y = a(x - 1)^2 + 5$:
$y = -2(x - 1)^2 + 5$

Обычно уравнение квадратичной функции представляют в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$. Для этого раскроем скобки в полученной формуле:
$y = -2(x^2 - 2x \cdot 1 + 1^2) + 5$
$y = -2(x^2 - 2x + 1) + 5$
$y = -2x^2 + 4x - 2 + 5$
$y = -2x^2 + 4x + 3$

Ответ: $y = -2x^2 + 4x + 3$