Номер 29.62, страница 139 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.62*. Для квадратичной функции $y = -9x^2 + 36$ найдите:

а) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

б) промежуток, на котором функция убывает.

Рис. 19

Рис. 20

Дана квадратичная функция $y = -9x^2 + 36$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -9 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

а) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения

Чтобы найти значения аргумента ($x$), при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

$-9x^2 + 36 < 0$

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $-9x^2 + 36 = 0$. Эти корни являются точками пересечения параболы с осью абсцисс ($Ox$).

$36 = 9x^2$

$x^2 = \frac{36}{9}$

$x^2 = 4$

Корнями уравнения являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции будут отрицательными ($y < 0$) за пределами интервала между корнями, то есть при значениях $x$ левее $–2$ и правее $2$.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

б) промежуток, на котором функция убывает

Промежутки возрастания и убывания квадратичной функции определяются положением ее вершины. Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для функции $y = -9x^2 + 36$ коэффициенты равны: $a = -9$, $b = 0$, $c = 36$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-9)} = 0$.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = 0$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает на промежутке до вершины (слева от нее) и убывает на промежутке после вершины (справа от нее).

Следовательно, функция убывает на промежутке от $0$ до $+\infty$.

Ответ: $[0; +\infty)$.