Номер 29.65, страница 140 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.65*. Известно, что ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вниз, а нулями являются числа 6 и 14. Найдите:

а) промежутки знакопостоянства функции;

б) промежутки монотонности функции.

а) промежутки знакопостоянства функции;
По условию, нам дана парабола $y = ax^2 + bx + c$, ветви которой направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент $a < 0$.
Нулями функции являются числа 6 и 14. Это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс ($x$). То есть, при $x=6$ и $x=14$ значение функции $y=0$.
Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 6)$, $(6, 14)$ и $(14, +\infty)$.
Так как ветви параболы направлены вниз, она имеет форму "холмика". Это значит, что между нулями (корнями) функция принимает положительные значения (график находится выше оси $x$), а за пределами нулей — отрицательные значения (график находится ниже оси $x$).
Следовательно:

• Функция положительна ($y > 0$) на интервале $(6, 14)$.
• Функция отрицательна ($y < 0$) на объединении интервалов $(-\infty, 6) \cup (14, +\infty)$.

Ответ: функция положительна при $x \in (6, 14)$; функция отрицательна при $x \in (-\infty, 6) \cup (14, +\infty)$.

б) промежутки монотонности функции.
Промежутки монотонности (возрастания и убывания) параболы определяются её вершиной. Точка вершины является точкой экстремума, где возрастание сменяется убыванием (или наоборот).
Абсцисса вершины параболы ($x_v$) находится ровно посередине между её нулями (корнями) из-за свойства симметрии параболы.
Найдем абсциссу вершины:
$x_v = \frac{6 + 14}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.
Следовательно:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 10]$.
• Функция убывает на промежутке $[10, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 10]$; функция убывает на промежутке $[10, +\infty)$.