Номер 30.3, страница 141 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.3. Если парабола $y = ax^2 + bx + c$ расположена выше оси абсцисс, то неравенство $ax^2 + bx + c > 0$: а) имеет одно решение; б) не имеет решений; в) имеет бесконечно много решений.

Выберите правильный ответ.

Условие задачи гласит, что парабола, заданная уравнением $y = ax^2 + bx + c$, полностью расположена выше оси абсцисс. Ось абсцисс — это горизонтальная ось, на которой значение ординаты $y$ равно нулю. Если парабола находится выше этой оси, это означает, что для любого значения $x$ соответствующее значение $y$ будет строго положительным ($y > 0$).

Нам необходимо определить количество решений неравенства $ax^2 + bx + c > 0$.

Заменим выражение $ax^2 + bx + c$ на $y$, согласно уравнению параболы. Тогда неравенство примет вид $y > 0$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых это неравенство выполняется.

Как мы установили из условия, $y > 0$ для всех точек параболы, то есть для любого действительного числа $x$. Следовательно, решением неравенства является вся числовая прямая, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Множество действительных чисел является бесконечным, поэтому у неравенства бесконечно много решений.

Рассмотрим предложенные варианты:

а) имеет одно решение — Неверно. Это было бы возможно, если бы неравенство было нестрогим ($ax^2 + bx + c \geq 0$), а парабола касалась бы оси абсцисс в одной точке.

б) не имеет решений — Неверно. Это было бы верно для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ при тех же условиях.

в) имеет бесконечно много решений — Верно, так как неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: в) имеет бесконечно много решений.