Номер 30.9, страница 142 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.9. Решите квадратное неравенство:

а) $x^2 - 16 < 0;$

б) $9 - x^2 < 0;$

в) $-x^2 + 7 \ge 0;$

г) $x^2 + 4 < 0;$

д) $-3x^2 - 5 \le 0;$

е) $18x^2 - 2 < 0;$

ж) $3x^2 \ge 0;$

з) $-2x^2 > 0;$

и) $-5x^2 < 0.$

a) $x^2 - 16 < 0$

Чтобы решить квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 16 = 0$.

Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители как разность квадратов:

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Следовательно, значения функции отрицательны (меньше 0) на интервале между корнями.

Нас интересует, где $x^2 - 16 < 0$, то есть где парабола находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале $(-4; 4)$.

Ответ: $x \in (-4; 4)$.

б) $9 - x^2 < 0$

Найдем корни уравнения $9 - x^2 = 0$.

Разложим на множители: $(3 - x)(3 + x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = 9 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -1 < 0$). Значения функции отрицательны вне интервала между корнями.

Нас интересует, где $9 - x^2 < 0$, то есть где парабола находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах слева от меньшего корня ($-3$) и справа от большего корня ($3$).

Таким образом, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

в) $-x^2 + 7 \geq 0$

Найдем корни уравнения $-x^2 + 7 = 0$.

$x^2 = 7$

Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$.

Графиком функции $y = -x^2 + 7$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -1 < 0$). Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Нас интересует, где $-x^2 + 7 \geq 0$, то есть где парабола находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-\sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7}$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.

г) $x^2 + 4 < 0$

Рассмотрим выражение $x^2 + 4$.

Для любого действительного числа $x$, значение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \geq 0$.

Следовательно, $x^2 + 4 \geq 0 + 4$, то есть $x^2 + 4 \geq 4$.

Выражение $x^2 + 4$ всегда положительно и его минимальное значение равно 4. Оно никогда не может быть меньше нуля.

Таким образом, неравенство $x^2 + 4 < 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

д) $-3x^2 - 5 \leq 0$

Рассмотрим выражение $-3x^2 - 5$.

Для любого действительного числа $x$, $x^2 \geq 0$.

Умножим на -3 (знак неравенства изменится): $-3x^2 \leq 0$.

Вычтем 5 из обеих частей: $-3x^2 - 5 \leq -5$.

Так как $-5 < 0$, то выражение $-3x^2 - 5$ всегда меньше или равно -5, а значит, всегда меньше или равно 0.

Следовательно, неравенство $-3x^2 - 5 \leq 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ - любое число.

e) $18x^2 - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $18x^2 - 2 = 0$.

$18x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 18x^2 - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a = 18 > 0$).

Значения функции отрицательны между корнями.

Нас интересует интервал, где $18x^2 - 2 < 0$, что соответствует интервалу между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{1}{3})$.

ж) $3x^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен: $x^2 \geq 0$.

Умножение на положительное число 3 не меняет знака неравенства: $3x^2 \geq 0$.

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ - любое число.

з) $-2x^2 > 0$

Разделим обе части неравенства на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \geq 0$). Не существует действительных чисел, квадрат которых был бы отрицательным.

Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

и) $-5x^2 < 0$

Разделим обе части неравенства на -5, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \geq 0$). Равенство $x^2 = 0$ достигается только при $x=0$.

Во всех остальных случаях, когда $x \neq 0$, выполняется строгое неравенство $x^2 > 0$.

Таким образом, решение неравенства: все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.