Номер 30.16, страница 143 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.16. Решите неравенство:

а) $x^2 + 3x - 1 > 0;$
б) $5x^2 - 2x \le 4;$
в) $6x < x^2 - 3;$
г) $8 - 5x^2 \ge -x.$

а) Для решения неравенства $x^2+3x-1>0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+3x-1=0$. Для этого вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$. Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$. Графиком функции $y=x^2+3x-1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2+3x-1>0$ выполняется, когда значения функции положительны, то есть когда график параболы находится выше оси абсцисс. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня. Ответ: $(-\infty; \frac{-3-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{13}}{2}; +\infty)$.

б) Преобразуем неравенство $5x^2-2x \le 4$ к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть: $5x^2-2x-4 \le 0$. Найдем корни квадратного уравнения $5x^2-2x-4=0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 4 + 80 = 84$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 2\sqrt{21}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{5}$. Ветви параболы $y=5x^2-2x-4$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2-2x-4 \le 0$ выполняется, когда значения функции неположительны, то есть когда график параболы находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни. Ответ: $[\frac{1-\sqrt{21}}{5}; \frac{1+\sqrt{21}}{5}]$.

в) Перенесем все члены неравенства $6x < x^2-3$ в одну часть: $x^2-6x-3 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2-6x-3=0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}$. Ветви параболы $y=x^2-6x-3$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2-6x-3 > 0$ выполняется, когда график параболы находится выше оси абсцисс. Это происходит на интервалах вне отрезка между корнями. Ответ: $(-\infty; 3-2\sqrt{3}) \cup (3+2\sqrt{3}; +\infty)$.

г) Преобразуем неравенство $8-5x^2 \ge -x$, перенеся все члены в левую часть: $-5x^2+x+8 \ge 0$. Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $5x^2-x-8 \le 0$. Найдем корни уравнения $5x^2-x-8=0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 1 + 160 = 161$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{161}}{10}$. Ветви параболы $y=5x^2-x-8$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2-x-8 \le 0$ выполняется, когда график параболы находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни. Ответ: $[\frac{1-\sqrt{161}}{10}; \frac{1+\sqrt{161}}{10}]$.