Номер 30.23, страница 144 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.23. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$\begin{cases} 2x + 8 \ge x^2, \\ (x-1)^2 > 0. \end{cases}$

Для решения данной системы неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих каждому неравенству в отдельности, а затем найти пересечение этих множеств.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство:

$2x + 8 \ge x^2$

Перепишем его в виде стандартного квадратного неравенства, перенеся все члены в правую часть:

$0 \ge x^2 - 2x - 8$

или

$x^2 - 2x - 8 \le 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-(-2) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $x^2 - 2x - 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями (включая сами корни).

Таким образом, решением первого неравенства является промежуток $x \in [-2, 4]$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство:

$(x - 1)^2 > 0$

Выражение в левой части представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$.

Равенство нулю достигается при $x - 1 = 0$, то есть при $x = 1$.

Поскольку неравенство строгое ($(x - 1)^2 > 0$), мы должны исключить значение $x=1$.

Следовательно, решением второго неравенства являются все действительные числа, кроме 1: $x \ne 1$. В виде интервалов это записывается как $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Решение системы и нахождение суммы целых решений

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые одновременно принадлежат промежутку $x \in [-2, 4]$ и удовлетворяют условию $x \ne 1$.

Пересечением этих двух множеств является отрезок $[-2, 4]$ с исключенной точкой 1. Это можно записать как объединение двух интервалов: $x \in [-2, 1) \cup (1, 4]$.

Теперь найдем все целые числа, которые принадлежат этому множеству. Это:

-2, -1, 0, 2, 3, 4.

Наконец, найдем сумму этих целых решений:

$-2 + (-1) + 0 + 2 + 3 + 4 = (-2 + 2) - 1 + 0 + 3 + 4 = 0 - 1 + 7 = 6$.

Ответ: 6