Номер 30.28, страница 145 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.28. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

$ \begin{cases} x^2 - x - 30 \le 0, \\ x^2 + x - 20 \ge 0. \end{cases} $

Для того чтобы найти наименьшее целое решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство в отдельности, найти пересечение их решений, а затем из этого пересечения выбрать наименьшее целое число.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - x - 30 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. Для нахождения корней можно использовать теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -30$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 30$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), то неравенство $x^2 - x - 30 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением первого неравенства является промежуток $x \in [-5, 6]$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство: $x^2 + x - 20 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -20$. Корнями являются числа $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 + x - 20$ также направлены вверх. Неравенство $x^2 + x - 20 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни. Следовательно, решением второго неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -5] \cup [4, \infty)$.

Нахождение решения системы

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть для $x \in [-5, 6]$ и $x \in (-\infty, -5] \cup [4, \infty)$. Пересечение этих множеств состоит из отдельной точки $x = -5$ и промежутка $[4, 6]$. Таким образом, решение системы неравенств: $x \in \{-5\} \cup [4, 6]$.

Нам нужно найти наименьшее целое решение. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это -5, 4, 5 и 6. Наименьшим из этих целых чисел является -5.

Ответ: -5