Номер 30.22, страница 144 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.22. Решите систему квадратных неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 > 6x - 9, \\ x^2 - 3 \le 4x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 > 8x - 16, \\ x^2 + 4 \le 5x. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 > 6x - 9, \\ x^2 - 3 \le 4x. \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство: $x^2 > 6x - 9$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства: $x^2 - 6x + 9 > 0$.

Заметим, что левая часть является полным квадратом двучлена: $(x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Строгое неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме того, при котором выражение равно нулю.

$(x - 3)^2 = 0$ при $x = 3$.

Следовательно, решением первого неравенства является множество всех действительных чисел, кроме $x=3$. В виде интервала это записывается как $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Теперь решим второе неравенство: $x^2 - 3 \le 4x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 - 4x - 3 \le 0$.

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 3 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, квадратный трехчлен принимает неположительные значения ($ \le 0$) на отрезке между своими корнями.

Решением второго неравенства является отрезок $x \in [2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$.

3. Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение системы — это множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \in [2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$ и $x \ne 3$.

Оценим, входит ли число $3$ в отрезок $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $2 - \sqrt{7}$ — отрицательное число (примерно $2 - 2.65 = -0.65$), а $2 + \sqrt{7}$ — положительное (примерно $2 + 2.65 = 4.65$). Очевидно, что $3$ находится внутри этого отрезка.

Таким образом, из отрезка $[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}]$ необходимо исключить точку $x=3$. В результате получаем объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in [2 - \sqrt{7}, 3) \cup (3, 2 + \sqrt{7}]$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 > 8x - 16, \\ x^2 + 4 \le 5x. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 > 8x - 16$.

Перенесем все слагаемые влево: $x^2 - 8x + 16 > 0$.

Левая часть представляет собой полный квадрат: $(x - 4)^2 > 0$.

Это неравенство справедливо для всех действительных $x$, за исключением случая, когда $x - 4 = 0$, то есть $x = 4$.

Решением первого неравенства является $x \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 4 \le 5x$.

Перенесем все слагаемые влево: $x^2 - 5x + 4 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. Его можно легко разложить на множители: $(x-1)(x-4)=0$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $ \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Решением второго неравенства является отрезок $x \in [1, 4]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Мы ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \in [1, 4]$ и $x \ne 4$.

Пересечение множества $[1, 4]$ (что означает $1 \le x \le 4$) и условия $x \ne 4$ дает множество всех чисел от $1$ до $4$, включая $1$, но не включая $4$.

Это соответствует полуинтервалу.

Ответ: $x \in [1, 4)$.