Номер 30.26, страница 145 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.26. Решите совокупность квадратных неравенств:

a) $ \begin{cases} x^2 - 2x - 15 \ge 0, \\ x^2 + 5x - 6 < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 - 3x - 18 \ge 0, \\ x^2 + 9x + 8 > 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - 5x \ge 0, \\ x^2 - x - 12 < 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 > 36, \\ x^2 - 7x + 6 \le 0. \end{cases} $

а) Решим совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{array}{l} x^2 - 2x - 15 \geq 0 \\ x^2 + 5x - 6 < 0 \end{array} \right. $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 15 \geq 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x - 15 \geq 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 5x - 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 + 5x - 6 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-6, 1)$.

3. Найдем объединение решений.
Решение совокупности — это объединение множеств решений каждого из неравенств: $((-\infty, -3] \cup [5, +\infty)) \cup (-6, 1)$.
На числовой оси объединение интервалов $(-\infty, -3]$ и $(-6, 1)$ дает интервал $(-\infty, 1)$.
Таким образом, итоговое решение: $x \in (-\infty, 1) \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 1) \cup [5, +\infty)$.

б) Решим совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{array}{l} x^2 - 3x - 18 \geq 0 \\ x^2 + 9x + 8 > 0 \end{array} \right. $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 18 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - 3x - 18$ имеет ветви вверх, поэтому $x^2 - 3x - 18 \geq 0$ при $x \in (-\infty, -3] \cup [6, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 9x + 8 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$.
Парабола $y = x^2 + 9x + 8$ имеет ветви вверх, поэтому $x^2 + 9x + 8 > 0$ при $x \in (-\infty, -8) \cup (-1, +\infty)$.

3. Найдем объединение решений.
Объединяем множества: $((-\infty, -3] \cup [6, +\infty)) \cup ((-\infty, -8) \cup (-1, +\infty))$.
Объединение $(-\infty, -3]$ и $(-\infty, -8)$ дает $(-\infty, -3]$.
Объединение $[6, +\infty)$ и $(-1, +\infty)$ дает $(-1, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty, -3] \cup (-1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup (-1, +\infty)$.

в) Решим совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{array}{l} x^2 - 5x \geq 0 \\ x^2 - x - 12 < 0 \end{array} \right. $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x \geq 0$.
Разложим на множители: $x(x-5) \geq 0$.
Корни уравнения $x(x-5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 - 5x$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - x - 12 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 - x - 12$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-3, 4)$.

3. Найдем объединение решений.
Объединяем множества: $((-\infty, 0] \cup [5, +\infty)) \cup (-3, 4)$.
Объединение $(-\infty, 0]$ и $(-3, 4)$ дает интервал $(-\infty, 4)$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty, 4) \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 4) \cup [5, +\infty)$.

г) Решим совокупность неравенств:

$ \left[ \begin{array}{l} x^2 > 36 \\ x^2 - 7x + 6 \leq 0 \end{array} \right. $

1. Решим первое неравенство: $x^2 > 36$.
Это эквивалентно $x^2 - 36 > 0$.
Разложим на множители: $(x-6)(x+6) > 0$.
Корни уравнения $(x-6)(x+6) = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -6) \cup (6, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 7x + 6 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Парабола $y = x^2 - 7x + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in [1, 6]$.

3. Найдем объединение решений.
Объединяем множества: $((-\infty, -6) \cup (6, +\infty)) \cup [1, 6]$.
Объединение интервалов $[1, 6]$ и $(6, +\infty)$ дает $[1, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty, -6) \cup [1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -6) \cup [1, +\infty)$.