Номер 30.31, страница 146 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.31. Найдите, при каких значениях аргумента график функции:

a)$f(x)=\frac{x^2+1}{5}$ лежит выше прямой $y=2;$

б)$f(x)=\frac{x^2-3x+12}{4}$ лежит ниже прямой $y=3.$

а) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых график функции $f(x) = \frac{x^2+1}{5}$ лежит выше прямой $y=2$, необходимо решить неравенство $f(x) > 2$.
Запишем и решим это неравенство:
$\frac{x^2+1}{5} > 2$
Умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 > 0, знак неравенства не меняется:
$x^2 + 1 > 10$
Перенесем 1 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:
$x^2 > 10 - 1$
$x^2 > 9$
Это неравенство выполняется, когда модуль $x$ больше 3, то есть $|x| > 3$. Это равносильно совокупности двух неравенств: $x < -3$ или $x > 3$.
Таким образом, решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

б) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых график функции $f(x) = \frac{x^2-3x+12}{4}$ лежит ниже прямой $y=3$, необходимо решить неравенство $f(x) < 3$.
Запишем и решим это неравенство:
$\frac{x^2-3x+12}{4} < 3$
Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 > 0, знак неравенства не меняется:
$x^2 - 3x + 12 < 12$
Перенесем 12 в левую часть неравенства, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 3x + 12 - 12 < 0$
$x^2 - 3x < 0$
Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:
$x(x - 3) < 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Графиком функции $y=x^2-3x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Следовательно, неравенство $x(x - 3) < 0$ выполняется при $x$, принадлежащем интервалу $(0; 3)$.
Ответ: $x \in (0; 3)$.