Номер 30.32, страница 146 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.32. Найдите область определения выражения:

а) $ \sqrt{7x - 10x^2 - 1} + \sqrt{x - 3}; $

б) $ \sqrt{36 - x^2} - \sqrt{3x - 18}; $

в) $ \sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{4x - x^2}; $

г) $ \sqrt{x^2 - 25} + \sqrt{27 - x^2 - 6x}. $

а) $\sqrt{7x - 10x^2 - 1} + \sqrt{x - 3}$

Область определения выражения — это множество всех значений $x$, для которых оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} 7x - 10x^2 - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} $$

Решим второе неравенство, так как оно проще: $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Это соответствует промежутку $[3; +\infty)$.

Теперь решим первое неравенство: $7x - 10x^2 - 1 \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $10x^2 - 7x + 1 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $10x^2 - 7x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$;
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Так как ветви параболы $y = 10x^2 - 7x + 1$ направлены вверх, неравенство $10x^2 - 7x + 1 \le 0$ выполняется между корнями, включая их: $x \in [0.2; 0.5]$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $[3; +\infty) \cap [0.2; 0.5]$.
Эти два множества не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

б) $\sqrt{36 - x^2} - \sqrt{3x - 18}$

Область определения выражения находится из системы неравенств:

$$ \begin{cases} 36 - x^2 \ge 0 \\ 3x - 18 \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $36 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 36 \implies -6 \le x \le 6$, то есть $x \in [-6; 6]$.

Решим второе неравенство: $3x - 18 \ge 0 \implies 3x \ge 18 \implies x \ge 6$, то есть $x \in [6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $[-6; 6] \cap [6; +\infty)$.
Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, это $x=6$.

Ответ: $\{6\}$.

в) $\sqrt{x^2 - 9} + \sqrt{4x - x^2}$

Область определения выражения находится из системы неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ 4x - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $4x - x^2 \ge 0 \implies x(4-x) \ge 0$. Корни этого выражения $x=0$ и $x=4$. Ветви параболы $y = 4x - x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется между корнями: $x \in [0; 4]$.

Найдем пересечение решений системы: $((-\infty; -3] \cup [3; +\infty)) \cap [0; 4]$.
Пересечение множества $(-\infty; -3]$ с $[0; 4]$ является пустым множеством.
Пересечение множества $[3; +\infty)$ с $[0; 4]$ является отрезком $[3; 4]$.

Ответ: $[3; 4]$.

г) $\sqrt{x^2 - 25} + \sqrt{27 - x^2 - 6x}$

Область определения выражения находится из системы неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 25 \ge 0 \\ 27 - x^2 - 6x \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 25 \ge 0 \implies (x-5)(x+5) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $27 - x^2 - 6x \ge 0$. Умножим на -1: $x^2 + 6x - 27 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 27 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение -27, следовательно, корни $x_1 = -9$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 + 6x - 27$ направлены вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-9; 3]$.

Найдем пересечение решений системы: $((-\infty; -5] \cup [5; +\infty)) \cap [-9; 3]$.
Пересечение множества $(-\infty; -5]$ с $[-9; 3]$ является отрезком $[-9; -5]$.
Пересечение множества $[5; +\infty)$ с $[-9; 3]$ является пустым множеством.

Ответ: $[-9; -5]$.