Номер 31.3, страница 147 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.3. Для функции $y = x^3$ найдите значение аргумента, при котором значение функции равно $\frac{1}{27}$; $0,008$; $-0,125$; $7\sqrt{7}$.

Для того чтобы найти значение аргумента $x$ для функции $y=x^3$, необходимо для каждого заданного значения $y$ решить уравнение $x^3=y$. Решением этого уравнения является $x = \sqrt[3]{y}$.

Для значения функции, равного $\frac{1}{27}$
Подставим значение $y = \frac{1}{27}$ в уравнение $x^3 = y$:
$x^3 = \frac{1}{27}$
Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Для значения функции, равного $0,008$
Подставим значение $y = 0,008$ в уравнение $x^3 = y$:
$x^3 = 0,008$
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной для удобства вычислений: $0,008 = \frac{8}{1000}$.
$x^3 = \frac{8}{1000}$
Извлекая кубический корень, получаем:
$x = \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{2}{10} = 0,2$.
Ответ: $0,2$.

Для значения функции, равного $-0,125$
Подставим значение $y = -0,125$ в уравнение $x^3 = y$:
$x^3 = -0,125$
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,125 = -\frac{125}{1000}$.
$x^3 = -\frac{125}{1000}$
Кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом:
$x = \sqrt[3]{-\frac{125}{1000}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{1000}} = -\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1000}} = -\frac{5}{10} = -0,5$.
Ответ: $-0,5$.

Для значения функции, равного $7\sqrt{7}$
Подставим значение $y = 7\sqrt{7}$ в уравнение $x^3 = y$:
$x^3 = 7\sqrt{7}$
Представим правую часть в виде степени с основанием 7. Так как $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$, то:
$7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{1+\frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$
Уравнение принимает вид: $x^3 = 7^{\frac{3}{2}}$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{1}{3}$ (что эквивалентно извлечению кубического корня):
$x = \left(7^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 7^{\frac{3}{6}} = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{7}$.