Номер 30.35, страница 146 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.35*. Найдите, при каких значениях $p$ уравнение $2x^2 + px + 5 = 0$ имеет два различных корня.

Заданное уравнение $2x^2 + px + 5 = 0$ является квадратным уравнением общего вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня в том и только в том случае, если его дискриминант (D) строго больше нуля ($D > 0$).

Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты имеют следующие значения:

• $a = 2$
• $b = p$
• $c = 5$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:$D = p^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5$$D = p^2 - 40$

Теперь составим и решим неравенство, исходя из условия $D > 0$:$p^2 - 40 > 0$

Перенесем 40 в правую часть:$p^2 > 40$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:$p > \sqrt{40}$ или $p < -\sqrt{40}$.

Упростим корень из 40:$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

Следовательно, значения $p$, при которых уравнение имеет два различных корня, удовлетворяют условиям:$p > 2\sqrt{10}$ или $p < -2\sqrt{10}$.

Это можно записать в виде объединения двух интервалов: $p \in (-\infty; -2\sqrt{10}) \cup (2\sqrt{10}; +\infty)$.

Ответ: $p \in (-\infty; -2\sqrt{10}) \cup (2\sqrt{10}; +\infty)$.