Номер 30.30, страница 145 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.30. Решите неравенство:

a) $\frac{x^2 + 1}{5} > \frac{2x}{3};$

б) $\frac{x^2}{7} - 2x \le 0;$

в) $\frac{x^2 + 6}{5} - \frac{8 - x}{10} \ge 1;$

г) $\frac{x^2 + 6x}{2} - 8 < 3x;$

д) $\frac{x^2 - 2x}{4} - \frac{x - 5}{8} \le 1;$

е) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} > -1;$

ж) $\frac{x^2 + 10x}{5} - 2x > 45;$

з) $\frac{4x^2 - 1}{3} - \frac{3x^2 + 8}{5} \le 1;$

и) $\frac{x^2 - x}{6} + x - 1 < \frac{2x + 3}{3};$

к) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{5x - 1}{6} \ge \frac{x^2 + 17}{9};$

л) $\frac{x^2 + 6x}{12} - \frac{2x + 3}{4} \ge 6;$

м) $\frac{(x + 4)^2}{2} - (x + 2)^2 \le 1;$

н) $\frac{(x - 1)^2}{5} - \frac{2x - 2}{3} < \frac{x + 4}{6};$

о) $\frac{(x - 3)^2}{8} - \frac{(x - 2)^2}{2} > 2 - 2x;$

а)

$\frac{x^2 + 1}{5} > \frac{2x}{3}$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю 15:

$\frac{3(x^2 + 1)}{15} - \frac{5(2x)}{15} > 0$

$\frac{3x^2 + 3 - 10x}{15} > 0$

Так как знаменатель 15 положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Решим квадратное неравенство:

$3x^2 - 10x + 3 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Корни: $x_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Парабола $y = 3x^2 - 10x + 3$ имеет ветви, направленные вверх ($a=3>0$), поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (3; +\infty)$.

б)

$\frac{x^2}{7} - 2x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(\frac{x}{7} - 2) \le 0$

Найдем корни уравнения $x(\frac{x}{7} - 2) = 0$.
$x_1 = 0$ или $\frac{x}{7} - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 14$.

Это квадратичное неравенство, график функции $y = \frac{x^2}{7} - 2x$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).

Ответ: $[0; 14]$.

в)

$\frac{x^2 + 6}{5} - \frac{8 - x}{10} \ge 1$

Перенесем все члены влево и приведем к общему знаменателю 10:

$\frac{2(x^2 + 6)}{10} - \frac{8 - x}{10} - \frac{10}{10} \ge 0$

$\frac{2x^2 + 12 - (8 - x) - 10}{10} \ge 0$

$\frac{2x^2 + 12 - 8 + x - 10}{10} \ge 0$

$\frac{2x^2 + x - 6}{10} \ge 0$

Решим неравенство $2x^2 + x - 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 6 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.
$x_1 = \frac{-1 - 7}{4} = -2$; $x_2 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Парабола $y = 2x^2 + x - 6$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

г)

$\frac{x^2 + 6x}{2} - 8 < 3x$

Перенесем все члены влево и приведем к общему знаменателю 2:

$\frac{x^2 + 6x}{2} - \frac{6x}{2} - \frac{16}{2} < 0$

$\frac{x^2 + 6x - 6x - 16}{2} < 0$

$\frac{x^2 - 16}{2} < 0$

Решим неравенство $x^2 - 16 < 0$, или $(x-4)(x+4) < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 16 = 0$ равны $x_1 = -4, x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - 16$ с ветвями вверх, отрицательные значения находятся между корнями.

Ответ: $(-4; 4)$.

д)

$\frac{x^2 - 2x}{4} - \frac{x - 5}{8} \le 1$

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю 8:

$\frac{2(x^2 - 2x)}{8} - \frac{x - 5}{8} - \frac{8}{8} \le 0$

$\frac{2x^2 - 4x - (x - 5) - 8}{8} \le 0$

$\frac{2x^2 - 4x - x + 5 - 8}{8} \le 0$

$\frac{2x^2 - 5x - 3}{8} \le 0$

Решим $2x^2 - 5x - 3 \le 0$.
Найдем корни $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3$.

Парабола $y = 2x^2 - 5x - 3$ с ветвями вверх, неположительные значения находятся между корнями.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; 3]$.

е)

$\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} > -1$

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю 24:

$\frac{3(x^2 - 4)}{24} - \frac{8(2x + 3)}{24} + \frac{24}{24} > 0$

$\frac{3x^2 - 12 - 16x - 24 + 24}{24} > 0$

$\frac{3x^2 - 16x - 12}{24} > 0$

Решим $3x^2 - 16x - 12 > 0$.
Найдем корни $3x^2 - 16x - 12 = 0$.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.
$x_1 = \frac{16 - 20}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{16 + 20}{6} = 6$.

Парабола $y = 3x^2 - 16x - 12$ с ветвями вверх, положительные значения находятся вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (6; +\infty)$.

ж)

$\frac{x^2 + 10x}{5} - 2x > 45$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 + 10x - 10x > 225$

$x^2 > 225$

$x^2 - 225 > 0$

$(x - 15)(x + 15) > 0$

Корни: $x_1 = -15, x_2 = 15$. Парабола $y = x^2 - 225$ ветвями вверх, положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -15) \cup (15; +\infty)$.

з)

$\frac{4x^2 - 1}{3} - \frac{3x^2 + 8}{5} \le 1$

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю 15:

$\frac{5(4x^2 - 1)}{15} - \frac{3(3x^2 + 8)}{15} - \frac{15}{15} \le 0$

$\frac{20x^2 - 5 - (9x^2 + 24) - 15}{15} \le 0$

$\frac{20x^2 - 5 - 9x^2 - 24 - 15}{15} \le 0$

$\frac{11x^2 - 44}{15} \le 0$

Решим $11x^2 - 44 \le 0$, разделив на 11: $x^2 - 4 \le 0$.
$(x-2)(x+2) \le 0$.
Корни: $x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола $y = x^2 - 4$ ветвями вверх, неположительные значения между корнями.

Ответ: $[-2; 2]$.

и)

$\frac{x^2 - x}{6} + x - 1 < \frac{2x + 3}{3}$

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю 6:

$\frac{x^2 - x}{6} + \frac{6(x - 1)}{6} - \frac{2(2x + 3)}{6} < 0$

$\frac{x^2 - x + 6x - 6 - (4x + 6)}{6} < 0$

$\frac{x^2 + 5x - 6 - 4x - 6}{6} < 0$

$\frac{x^2 + x - 12}{6} < 0$

Решим $x^2 + x - 12 < 0$.
Разложим на множители: $(x+4)(x-3) < 0$.
Корни: $x_1 = -4, x_2 = 3$. Парабола ветвями вверх, отрицательные значения между корнями.

Ответ: $(-4; 3)$.

к)

$\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{5x - 1}{6} \ge \frac{x^2 + 17}{9}$

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю 18:

$\frac{6(4x^2 + x)}{18} - \frac{3(5x - 1)}{18} - \frac{2(x^2 + 17)}{18} \ge 0$

$\frac{24x^2 + 6x - (15x - 3) - (2x^2 + 34)}{18} \ge 0$

$\frac{24x^2 + 6x - 15x + 3 - 2x^2 - 34}{18} \ge 0$

$\frac{22x^2 - 9x - 31}{18} \ge 0$

Решим $22x^2 - 9x - 31 \ge 0$.
Найдем корни $22x^2 - 9x - 31 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 2728 = 2809 = 53^2$.
$x_1 = \frac{9 - 53}{44} = -1$; $x_2 = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22}$.

Парабола ветвями вверх, неотрицательные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [\frac{31}{22}; +\infty)$.

л)

$\frac{x^2 + 6x}{12} - \frac{2x + 3}{4} > 6$

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю 12:

$\frac{x^2 + 6x}{12} - \frac{3(2x + 3)}{12} - \frac{72}{12} > 0$

$\frac{x^2 + 6x - 6x - 9 - 72}{12} > 0$

$\frac{x^2 - 81}{12} > 0$

Решим $x^2 - 81 > 0$, или $(x-9)(x+9) > 0$.
Корни: $x_1 = -9, x_2 = 9$. Парабола ветвями вверх, положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -9) \cup (9; +\infty)$.

м)

$\frac{(x + 4)^2}{2} - (x + 2)^2 \le 1$

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю 2:

$\frac{x^2 + 8x + 16}{2} - \frac{2(x^2 + 4x + 4)}{2} - \frac{2}{2} \le 0$

$\frac{x^2 + 8x + 16 - 2x^2 - 8x - 8 - 2}{2} \le 0$

$\frac{-x^2 + 6}{2} \le 0$

Решим $-x^2 + 6 \le 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 6 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 6 = 0$ равны $x = \pm\sqrt{6}$.
Парабола $y = x^2 - 6$ ветвями вверх, неотрицательные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}; +\infty)$.

н)

$\frac{(x - 1)^2}{5} - \frac{2x - 2}{3} < \frac{x + 4}{6}$

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю 30:

$\frac{6(x - 1)^2}{30} - \frac{10(2x - 2)}{30} - \frac{5(x + 4)}{30} < 0$

$\frac{6(x^2 - 2x + 1) - (20x - 20) - (5x + 20)}{30} < 0$

$\frac{6x^2 - 12x + 6 - 20x + 20 - 5x - 20}{30} < 0$

$\frac{6x^2 - 37x + 6}{30} < 0$

Решим $6x^2 - 37x + 6 < 0$.
Найдем корни $6x^2 - 37x + 6 = 0$.
$D = (-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 - 144 = 1225 = 35^2$.
$x_1 = \frac{37 - 35}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$; $x_2 = \frac{37 + 35}{12} = \frac{72}{12} = 6$.

Парабола ветвями вверх, отрицательные значения между корнями.

Ответ: $(\frac{1}{6}; 6)$.

о)

$\frac{(x - 3)^2}{8} - \frac{(x - 2)^2}{2} > 2 - 2x$

Перенесем все влево, приведем к общему знаменателю 8:

$\frac{(x - 3)^2}{8} - \frac{4(x - 2)^2}{8} - \frac{8(2 - 2x)}{8} > 0$

$\frac{x^2 - 6x + 9 - 4(x^2 - 4x + 4) - 16 + 16x}{8} > 0$

$\frac{x^2 - 6x + 9 - 4x^2 + 16x - 16 - 16 + 16x}{8} > 0$

$\frac{-3x^2 + 26x - 23}{8} > 0$

Решим $-3x^2 + 26x - 23 > 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $3x^2 - 26x + 23 < 0$.
Найдем корни $3x^2 - 26x + 23 = 0$. Сумма коэффициентов $3 - 26 + 23 = 0$, поэтому $x_1 = 1$.
Второй корень по теореме Виета $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{23}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 - 26x + 23$ ветвями вверх, отрицательные значения между корнями.

Ответ: $(1; \frac{23}{3})$.