Номер 30.25, страница 145 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.25. Найдите, при каких значениях переменной:

а) квадрат двучлена $3x - 1$ меньше квадрата двучлена $6x - 2$;

б) квадрат двучлена $3x + 3$ не превосходит квадрат двучлена $4x - 4$.

а) Условие "квадрат двучлена $3x - 1$ меньше квадрата двучлена $6x - 2$" записывается в виде неравенства:
$(3x - 1)^2 < (6x - 2)^2$
Перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:
$(3x - 1)^2 - (6x - 2)^2 < 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((3x - 1) - (6x - 2))((3x - 1) + (6x - 2)) < 0$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(3x - 1 - 6x + 2)(3x - 1 + 6x - 2) < 0$
$(-3x + 1)(9x - 3) < 0$
Можно заметить, что второй двучлен является произведением первого на $-3$: $9x - 3 = 3(3x-1)$ и $-3x+1 = -(3x-1)$. Подставим это в неравенство:
$-(3x-1) \cdot 3(3x-1) < 0$
$-3(3x-1)^2 < 0$
Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$(3x - 1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, является положительным. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых основание степени не равно нулю:
$3x - 1 \neq 0$
$3x \neq 1$
$x \neq \frac{1}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) Условие "квадрат двучлена $3x + 3$ не превосходит квадрат двучлена $4x - 4$" означает, что он меньше или равен ($\le$). Запишем это в виде неравенства:
$(3x + 3)^2 \le (4x - 4)^2$
Перенесем все члены в левую часть и применим формулу разности квадратов:
$(3x + 3)^2 - (4x - 4)^2 \le 0$
$((3x + 3) - (4x - 4))((3x + 3) + (4x - 4)) \le 0$
Упростим выражения в скобках:
$(3x + 3 - 4x + 4)(3x + 3 + 4x - 4) \le 0$
$(-x + 7)(7x - 1) \le 0$
Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:
$(-x + 7)(7x - 1) = 0$
Корни уравнения:
1) $-x + 7 = 0 \implies x_1 = 7$
2) $7x - 1 = 0 \implies 7x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{7}$
Нанесем корни на числовую ось. Они разделят ее на три интервала. Левая часть неравенства представляет собой параболу $y = -7x^2 + 50x - 7$, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Это означает, что парабола находится ниже оси $x$ (т.е. выражение $\le 0$) за пределами корней.
Следовательно, решение неравенства: $x \le \frac{1}{7}$ или $x \ge 7$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{7}] \cup [7; +\infty)$.