Номер 30.19, страница 144 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.19. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

$ \begin{cases} x^2 - 25x > 0, \\ x^2 - 49 \le 0. \end{cases} $

30.19. Для того чтобы найти наименьшее целое решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти пересечение полученных решений.

Решим первое неравенство: $x^2 - 25x > 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 25) > 0$. Корни соответствующего уравнения $x(x-25)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 25$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 25x$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (25, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 49 \le 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 7)(x + 7) \le 0$. Корни соответствующего уравнения $(x-7)(x+7)=0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 7$. Ветви параболы $y = x^2 - 49$ также направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая концы, так как неравенство нестрогое. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [-7, 7]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, 0) \cup (25, +\infty)) \cap [-7, 7]$. Общим решением системы является полуинтервал $x \in [-7, 0)$.

Нам необходимо найти наименьшее целое решение из этого промежутка. Целые числа, принадлежащие промежутку $[-7, 0)$, — это -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1. Наименьшим из этих чисел является -7.

Ответ: -7