Номер 30.17, страница 143 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.17. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{6 + x - x^2}$;

б) $\sqrt{7x^2 - x}$;

в) $\sqrt{24 - 4x^2}$;

г) $\sqrt{7x - 3x^2 - 4}$.

а)

Выражение $\sqrt{6 + x - x^2}$ имеет смысл (определено), если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $6 + x - x^2 \ge 0$.

Для удобства решения умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный. Это позволит работать с положительным коэффициентом при старшей степени переменной:

$x^2 - x - 6 \le 0$.

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-2 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-2; 3]$.

б)

Выражение $\sqrt{7x^2 - x}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $7x^2 - x \ge 0$.

Разложим левую часть неравенства на множители, вынеся $x$ за скобки: $x(7x - 1) \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x(7x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $7x - 1 = 0$, откуда $x_2 = \frac{1}{7}$.

Графиком функции $y = 7x^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше или равны нулю ($y \ge 0$), когда переменная $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня (включая сами корни).

Следовательно, решение неравенства: $x \le 0$ или $x \ge \frac{1}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{1}{7}; +\infty)$.

в)

Выражение $\sqrt{24 - 4x^2}$ имеет смысл, если $24 - 4x^2 \ge 0$.

Разделим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется):

$6 - x^2 \ge 0$.

Перепишем неравенство в виде $x^2 \le 6$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$.

Таким образом, выражение имеет смысл при значениях $x$, принадлежащих отрезку от $-\sqrt{6}$ до $\sqrt{6}$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.

г)

Выражение $\sqrt{7x - 3x^2 - 4}$ имеет смысл, если $7x - 3x^2 - 4 \ge 0$.

Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и поменяем знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 7x + 4 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $3x^2 - 7x + 4 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $1 \le x \le \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3}]$.