Номер 30.15, страница 143 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.15. Найдите, при каких значениях переменной:

а) значения двучлена $x^2 + x$ не превышают 20;

б) значения трехчлена $3x^2 + 2x - 1$ меньше значений двучлена $5x + 5$.

а) значения двучлена $x^2 + x$ не превышают 20;

Условие "не превышают 20" означает "меньше или равно 20". Запишем это в виде неравенства:
$x^2 + x \le 20$
Для решения перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:
$x^2 + x - 20 \le 0$
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$
Мы решаем неравенство $x^2 + x - 20 \le 0$. Графиком функции $y = x^2 + x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола находится ниже или на оси Ox между своими корнями.
Следовательно, решением неравенства является промежуток между корнями, включая сами корни.
$x \in [-5; 4]$
Ответ: $x \in [-5; 4]$.

б) значения трехчлена $3x^2 + 2x - 1$ меньше значений двучлена $5x + 5$.

Составим неравенство в соответствии с условием задачи:
$3x^2 + 2x - 1 < 5x + 5$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$3x^2 + 2x - 5x - 1 - 5 < 0$
$3x^2 - 3x - 6 < 0$
Чтобы упростить неравенство, разделим обе его части на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$x^2 - x - 2 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
Мы решаем неравенство $x^2 - x - 2 < 0$. Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Парабола находится строго ниже оси Ox между своими корнями.
Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.
$x \in (-1; 2)$
Ответ: $x \in (-1; 2)$.