Номер 30.21, страница 144 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.21. Выясните, существуют ли такие значения аргумента, при которых функция $y = x^2 - 15x + 29$ принимает значения, большие 15.

Чтобы выяснить, существуют ли значения аргумента $x$, при которых функция $y = x^2 - 15x + 29$ принимает значения, большие 15, необходимо составить и решить неравенство:

$y > 15$

Подставим выражение для $y$:

$x^2 - 15x + 29 > 15$

Для решения перенесем все члены в левую часть, чтобы получить неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$:

$x^2 - 15x + 29 - 15 > 0$

$x^2 - 15x + 14 > 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 15x + 14 = 0$. Это можно сделать с помощью вычисления дискриминанта или по теореме Виета.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 225 - 56 = 169$

Так как $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 13}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 13}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Корни уравнения равны 1 и 14. Теперь вернемся к неравенству $x^2 - 15x + 14 > 0$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 15x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

Парабола принимает положительные значения (находится выше оси абсцисс) на интервалах, расположенных вне отрезка между корнями. Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов:

$x \in (-\infty; 1) \cup (14; \infty)$

Мы нашли множество значений $x$, при которых выполняется заданное условие. Так как это множество не является пустым, то такие значения аргумента существуют. Например, можно взять любое значение $x$ из этого множества, скажем, $x=0$. При $x=0$ значение функции будет $y = 0^2 - 15 \cdot 0 + 29 = 29$, что больше 15.

Ответ: Да, такие значения существуют.