Номер 30.18, страница 143 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.18. Решите систему квадратных неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 6x + 8 \ge 0, \\ x^2 - 5x - 6 < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + x - 6 \ge 0, \\ x^2 - 5x - 24 \le 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 9x - 10 < 0, \\ x^2 - 6x > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0, \\ x^2 + 4x < 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 - x - 72 \le 0, \\ x^2 - 16 \ge 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x^2 - 5x - 14 \le 0, \\ x^2 - 4 \ge 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 \ge 0 \\ x^2 - 5x - 6 < 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Таким образом, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 6x + 8$ неотрицательно при $x$ вне интервала между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$. Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Выражение отрицательно между корнями. Решение второго неравенства: $x \in (-1, 6)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств решений: $(-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$ и $(-1, 6)$. Пересечение этих множеств есть $x \in (-1, 2] \cup [4, 6)$.

Ответ: $(-1, 2] \cup [4, 6)$.

б)

Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} x^2 + x - 6 \ge 0 \\ x^2 - 5x - 24 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$: по теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 5x - 24 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$: по теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 8$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in [-3, 8]$.

3. Найдем пересечение множеств $(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$ и $[-3, 8]$. Пересечение включает точку $x = -3$ и интервал $[2, 8]$.

Ответ: $\{-3\} \cup [2, 8]$.

в)

Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} x^2 - 9x - 10 < 0 \\ x^2 - 6x > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 9x - 10 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$: по теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = 10$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in (-1, 10)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 6x > 0$. Разложим на множители: $x(x - 6) > 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, +\infty)$.

3. Найдем пересечение множеств $(-1, 10)$ и $(-\infty, 0) \cup (6, +\infty)$. Пересечение этих множеств есть $x \in (-1, 0) \cup (6, 10)$.

Ответ: $(-1, 0) \cup (6, 10)$.

г)

Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0 \\ x^2 + 4x < 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $2x^2 - 11x - 6 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 11x - 6 = 0$ с помощью дискриминанта:$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.$x_{1,2} = \frac{11 \pm 13}{4}$, откуда $x_1 = \frac{-2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{24}{4} = 6$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -0.5] \cup [6, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 4x < 0$. Разложим на множители: $x(x + 4) < 0$. Корни $x_1 = -4$, $x_2 = 0$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in (-4, 0)$.

3. Найдем пересечение множеств $(-\infty, -0.5] \cup [6, +\infty)$ и $(-4, 0)$. Пересечением является интервал $x \in (-4, -0.5]$.

Ответ: $(-4, -0.5]$.

д)

Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} x^2 - x - 72 \le 0 \\ x^2 - 16 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 - x - 72 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 72 = 0$: по теореме Виета, $x_1 = -8$, $x_2 = 9$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in [-8, 9]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 16 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-4)(x+4) \ge 0$. Корни $x_1 = -4$, $x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение множеств $[-8, 9]$ и $(-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$. Пересечение этих множеств есть $x \in [-8, -4] \cup [4, 9]$.

Ответ: $[-8, -4] \cup [4, 9]$.

е)

Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} x^2 - 5x - 14 \le 0 \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 5x - 14 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$: по теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = 7$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in [-2, 7]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 4 > 0$. Разложим на множители: $(x-2)(x+2) > 0$. Корни $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение множеств $[-2, 7]$ и $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Пересечение этих множеств есть $x \in (2, 7]$.

Ответ: $(2, 7]$.