Номер 30.13, страница 143 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.13. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

а) $x^2 - 6x \le 0;$

б) $x^2 + 5x < 0;$

в) $7x - x^2 \ge 0;$

г) $x - 0,1x^2 > 0.$

а) $x^2 - 6x \le 0$

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Неравенство $x^2 - 6x \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси Ox, то есть между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[0; 6]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Наименьшее из этих целых чисел — 0.

Ответ: 0

б) $x^2 + 5x < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x$ является парабола с ветвями вверх ($1 > 0$).

Неравенство $x^2 + 5x < 0$ выполняется, когда парабола находится строго ниже оси Ox, то есть в интервале между корнями.

Решение неравенства — это интервал $(-5; 0)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -4, -3, -2, -1.

Наименьшее из этих целых чисел — -4.

Ответ: -4

в) $7x - x^2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $7x - x^2 = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(7 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = 7x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$).

Неравенство $7x - x^2 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится выше или на оси Ox, то есть между корнями, включая сами корни.

Решение неравенства — это отрезок $[0; 7]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Наименьшее из этих целых чисел — 0.

Ответ: 0

г) $x - 0,1x^2 > 0$

Найдем корни уравнения $x - 0,1x^2 = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - 0,1x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $1 - 0,1x_2 = 0 \implies 0,1x_2 = 1 \implies x_2 = 10$.

Графиком функции $y = x - 0,1x^2$ является парабола с ветвями вниз ($-0,1 < 0$).

Неравенство $x - 0,1x^2 > 0$ выполняется, когда парабола находится строго выше оси Ox, то есть в интервале между корнями.

Решение неравенства — это интервал $(0; 10)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Наименьшее из этих целых чисел — 1.

Ответ: 1