Номер 30.27, страница 145 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.27. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{x^2 - 25};$

б) $y = \sqrt{16 - x^2};$

в) $y = \sqrt{2x^2 - x};$

г) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1};$

д) $y = \sqrt{2x^2 - x + 1};$

е) $y = \sqrt{3x^2 - 4x + 2}.$

а) $y = \sqrt{x^2 - 25}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - 25 \geq 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 5)(x + 5) \geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$ равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Парабола $y = x^2 - 25$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому она принимает неотрицательные значения при $x$ вне отрезка между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{16 - x^2}$

Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$16 - x^2 \geq 0$

Разложим на множители:

$(4 - x)(4 + x) \geq 0$

Корни уравнения $(4 - x)(4 + x) = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Парабола $y = 16 - x^2$ имеет ветви, направленные вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями.

Решение неравенства: $x \in [-4, 4]$.

Ответ: $[-4, 4]$.

в) $y = \sqrt{2x^2 - x}$

Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$2x^2 - x \geq 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) \geq 0$

Корни уравнения $x(2x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/2$.

Парабола $y = 2x^2 - x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [1/2, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [1/2, +\infty)$.

г) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$

Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - 2x + 1 \geq 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.

Область определения — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

д) $y = \sqrt{2x^2 - x + 1}$

Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$2x^2 - x + 1 \geq 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $2x^2 - x + 1$. Найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a = 2 > 0$), то парабола $y = 2x^2 - x + 1$ полностью лежит выше оси Ox и, следовательно, принимает только положительные значения при любых $x$.

Неравенство $2x^2 - x + 1 \geq 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Область определения — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

е) $y = \sqrt{3x^2 - 4x + 2}$

Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$3x^2 - 4x + 2 \geq 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $3x^2 - 4x + 2$. Найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a = 3 > 0$), то парабола $y = 3x^2 - 4x + 2$ полностью лежит выше оси Ox и принимает только положительные значения.

Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x + 2 \geq 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Область определения — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.