Номер 30.33, страница 146 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.33*. Найдите число целых решений неравенства $ \frac{(x-3)^2}{16} - \frac{(x-2)^2}{4} \le \frac{1-x}{2} $ на отрезке $[-10; 3]$.

Для решения данного неравенства сначала приведем все его части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16, 4 и 2 равен 16.

Исходное неравенство: $ \frac{(x-3)^2}{16} - \frac{(x-2)^2}{4} \le \frac{1-x}{2} $

Умножим обе части неравенства на 16. Так как 16 > 0, знак неравенства не изменится: $ 16 \cdot \frac{(x-3)^2}{16} - 16 \cdot \frac{(x-2)^2}{4} \le 16 \cdot \frac{1-x}{2} $ $ (x-3)^2 - 4(x-2)^2 \le 8(1-x) $

Теперь раскроем скобки в левой и правой частях неравенства. $ (x^2 - 6x + 9) - 4(x^2 - 4x + 4) \le 8 - 8x $ $ x^2 - 6x + 9 - 4x^2 + 16x - 16 \le 8 - 8x $

Приведем подобные слагаемые в левой части: $ -3x^2 + 10x - 7 \le 8 - 8x $

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2 + bx + c \le 0$: $ -3x^2 + 10x - 7 - 8 + 8x \le 0 $ $ -3x^2 + 18x - 15 \le 0 $

Для удобства разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $ \frac{-3x^2}{-3} + \frac{18x}{-3} + \frac{-15}{-3} \ge \frac{0}{-3} $ $ x^2 - 6x + 5 \ge 0 $

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. Используем теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 5 $.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 6x + 5 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

По условию задачи, мы ищем решения на отрезке $[-10, 3]$. Найдем пересечение полученного решения с этим отрезком: $ ( (-\infty, 1] \cup [5, \infty) ) \cap [-10, 3] $

Рассмотрим пересечение с каждым промежутком отдельно:
1) $(-\infty, 1] \cap [-10, 3] = [-10, 1]$
2) $[5, \infty) \cap [-10, 3] = \emptyset$ (пустое множество, так как промежутки не пересекаются)

Таким образом, решением исходного неравенства на отрезке $[-10, 3]$ является промежуток $x \in [-10, 1]$.

Теперь нам нужно найти количество целых решений на этом промежутке. Целые числа, принадлежащие отрезку $[-10, 1]$, это: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1. Чтобы посчитать их количество, можно использовать формулу $b - a + 1$ для отрезка $[a, b]$. Количество целых решений: $1 - (-10) + 1 = 1 + 10 + 1 = 12$.

Ответ: 12.