Номер 31.4, страница 147 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.4. Для функции $f(x)=|x|$ найдите значение аргумента, при котором:

а) $f(x)=7$;

б) $f(x)=\frac{4}{9}$;

в) $f(x)=\sqrt{7}$.

Данная задача требует найти значения аргумента $x$ для функции $f(x) = |x|$, при которых значение функции равно заданным числам. Это сводится к решению уравнений вида $|x| = a$, где $a$ — неотрицательное число.

По определению, модуль (или абсолютная величина) числа $x$ — это расстояние от точки, представляющей $x$ на числовой прямой, до нуля. Поэтому уравнение $|x| = a$ (при $a \ge 0$) всегда имеет два решения: $x=a$ и $x=-a$.

а) $f(x) = 7$

Подставим определение функции в данное равенство:

$|x| = 7$

Это уравнение истинно для двух значений $x$, так как и положительное, и отрицательное число, равные по модулю 7, будут иметь модуль, равный 7.

$x_1 = 7$
$x_2 = -7$

Проверка: $f(7) = |7| = 7$; $f(-7) = |-7| = 7$.

Ответ: $x = 7$ или $x = -7$.

б) $f(x) = \frac{4}{9}$

Подставим определение функции в равенство:

$|x| = \frac{4}{9}$

Уравнение имеет два решения:

$x_1 = \frac{4}{9}$
$x_2 = -\frac{4}{9}$

Проверка: $f(\frac{4}{9}) = |\frac{4}{9}| = \frac{4}{9}$; $f(-\frac{4}{9}) = |-\frac{4}{9}| = \frac{4}{9}$.

Ответ: $x = \frac{4}{9}$ или $x = -\frac{4}{9}$.

в) $f(x) = \sqrt{7}$

Подставим определение функции в равенство:

$|x| = \sqrt{7}$

Так как $\sqrt{7}$ является положительным числом, уравнение имеет два решения:

$x_1 = \sqrt{7}$
$x_2 = -\sqrt{7}$

Проверка: $f(\sqrt{7}) = |\sqrt{7}| = \sqrt{7}$; $f(-\sqrt{7}) = |-\sqrt{7}| = \sqrt{7}$.

Ответ: $x = \sqrt{7}$ или $x = -\sqrt{7}$.