Номер 30.2, страница 141 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.2. Используя схему графика функции $y = x^2 - 5x$, изображенную на рисунке 23, решите квадратное неравенство:

а) $x^2 - 5x > 0;$

б) $x^2 - 5x \ge 0;$

в) $x^2 - 5x < 0;$

г) $x^2 - 5x \le 0.$

Рис. 23

Для решения данных квадратных неравенств воспользуемся предложенной схемой графика функции $y = x^2 - 5x$.

На графике изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс (ось $Ox$) в точках, где $y=0$. Из схемы видно, что это точки $x=0$ и $x=5$. Это нули функции.

Решение неравенств сводится к определению промежутков значений $x$, на которых график функции расположен выше или ниже оси абсцисс, в зависимости от знака неравенства.

а) $x^2 - 5x > 0$

Требуется найти значения $x$, при которых значения функции $y = x^2 - 5x$ положительны, то есть $y > 0$. Это соответствует тем участкам графика, которые расположены выше оси $Ox$. Посмотрев на схему, мы видим, что это происходит на двух интервалах: левее точки $x=0$ и правее точки $x=5$. Поскольку неравенство строгое, сами точки $x=0$ и $x=5$ в решение не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (5, +\infty)$.

б) $x^2 - 5x \geq 0$

Требуется найти значения $x$, при которых значения функции $y = x^2 - 5x$ неотрицательны, то есть $y \geq 0$. Это соответствует участкам графика, которые расположены выше оси $Ox$, а также точкам, в которых график пересекает ось $Ox$. Это те же промежутки, что и в пункте а), но с включением точек $x=0$ и $x=5$, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$.

в) $x^2 - 5x < 0$

Требуется найти значения $x$, при которых значения функции $y = x^2 - 5x$ отрицательны, то есть $y < 0$. Это соответствует тому участку графика, который расположен ниже оси $Ox$. Из схемы видно, что парабола находится ниже оси $Ox$ между точками $x=0$ и $x=5$. Поскольку неравенство строгое, концы интервала в решение не включаются.

Ответ: $x \in (0, 5)$.

г) $x^2 - 5x \leq 0$

Требуется найти значения $x$, при которых значения функции $y = x^2 - 5x$ неположительны, то есть $y \leq 0$. Это соответствует участку графика, который расположен ниже оси $Ox$, а также точкам, в которых график пересекает ось $Ox$. Это тот же промежуток, что и в пункте в), но с включением точек $x=0$ и $x=5$, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in [0, 5]$.