Номер 29.69, страница 140 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.69*. Найдите наибольшее целое значение числа $m$, при котором квадратичная функция $y = -2x^2 + 8x + 2m$ принимает только отрицательные значения.

Дана квадратичная функция $y = -2x^2 + 8x + 2m$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный ($a = -2 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Для того чтобы квадратичная функция принимала только отрицательные значения, ее график должен целиком располагаться ниже оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что у параболы не должно быть точек пересечения или касания с осью Ox.

Такое условие выполняется, когда соответствующее квадратное уравнение $-2x^2 + 8x + 2m = 0$ не имеет действительных корней. А это, в свою очередь, означает, что дискриминант $D$ этого уравнения должен быть строго меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-2x^2 + 8x + 2m$.

Коэффициенты: $a = -2$, $b = 8$, $c = 2m$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов в формулу: $D = 8^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (2m) = 64 + 8 \cdot (2m) = 64 + 16m$.

Теперь решим неравенство $D < 0$: $64 + 16m < 0$

Перенесем 64 в правую часть: $16m < -64$

Разделим обе части на 16: $m < \frac{-64}{16}$ $m < -4$

Согласно условию задачи, необходимо найти наибольшее целое значение числа $m$, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, которые меньше $-4$, это $-5, -6, -7$ и так далее. Самое большое из них — это $-5$.

Ответ: -5.