Номер 30.1, страница 141 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.1. На рисунке 22 изображен график функции $y = x^2 - 2x - 8$. Используйте график и решите квадратное неравенство:

а) $x^2 - 2x - 8 > 0$;

б) $x^2 - 2x - 8 \ge 0$;

в) $x^2 - 2x - 8 < 0$;

г) $x^2 - 2x - 8 \le 0$.

Рис. 22

Для решения данных неравенств воспользуемся предоставленным графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх.

Ключевыми точками для решения неравенств являются нули функции, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). В этих точках $y = 0$. Из графика видно, что парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -2$ и $x = 4$.

а) $x^2 - 2x - 8 > 0$

Нам нужно найти значения $x$, при которых значение функции $y$ больше нуля ($y > 0$). Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси $Ox$. Глядя на график, мы видим, что это происходит, когда $x$ находится левее точки $-2$ или правее точки $4$. Поскольку неравенство строгое, сами точки $x = -2$ и $x = 4$ не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.

б) $x^2 - 2x - 8 \ge 0$

Нам нужно найти значения $x$, при которых значение функции $y$ больше или равно нулю ($y \ge 0$). Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси $Ox$ или на самой оси. Это те же промежутки, что и в пункте а), но на этот раз мы включаем точки $x = -2$ и $x = 4$, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.

в) $x^2 - 2x - 8 < 0$

Нам нужно найти значения $x$, при которых значение функции $y$ меньше нуля ($y < 0$). Это соответствует участку графика, расположенному ниже оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на интервале между точками $x = -2$ и $x = 4$. Поскольку неравенство строгое, сами точки $x = -2$ и $x = 4$ в решение не включаются.

Ответ: $x \in (-2; 4)$.

г) $x^2 - 2x - 8 \le 0$

Нам нужно найти значения $x$, при которых значение функции $y$ меньше или равно нулю ($y \le 0$). Это соответствует участку графика, расположенному ниже оси $Ox$ или на самой оси. Это тот же интервал, что и в пункте в), но теперь мы включаем точки $x = -2$ и $x = 4$, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in [-2; 4]$.