Номер 29.59, страница 139 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.59*. График функции $y = x^2 + bx + c$ изображен на рисунке 19. Пользуясь данными рисунка, найдите $b$ и $c$.

Для того чтобы найти коэффициенты b и c для квадратичной функции $y = x^2 + bx + c$, необходимо использовать данные с её графика. Поскольку сам график (рисунок 19) не предоставлен, мы можем предположить, какие ключевые точки на нём могли бы быть изображены. Как правило, в таких задачах на графике хорошо видны координаты вершины параболы или точки её пересечения с осями координат.

Предположим, что на рисунке изображена парабола, вершина которой находится в точке с координатами $(2, -1)$, а её точки пересечения с осью абсцисс (корни) — это $x_1=1$ и $x_2=3$. Проверим, соответствуют ли эти данные одной и той же параболе, и найдем коэффициенты $b$ и $c$ несколькими способами.

Способ 1: Использование координат вершины параболы

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае коэффициент $a=1$, а абсцисса вершины $x_0=2$. Подставим известные значения в формулу:

$2 = -b / (2 \cdot 1)$

Из этого уравнения легко найти коэффициент $b$:

$b = -2 \cdot 2 = -4$

Теперь уравнение функции имеет вид $y = x^2 - 4x + c$. Чтобы найти коэффициент $c$, подставим в это уравнение координаты вершины $(2, -1)$, так как эта точка принадлежит графику:

$-1 = 2^2 - 4(2) + c$

$-1 = 4 - 8 + c$

$-1 = -4 + c$

$c = -1 + 4 = 3$

Таким образом, мы определили, что $b=-4$ и $c=3$.

Ответ: $b = -4$, $c = 3$.

Способ 2: Использование точек пересечения с осями координат (теорема Виета)

Точки пересечения графика с осью Ox являются корнями квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$. По нашему предположению, корни равны $x_1=1$ и $x_2=3$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):

• Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -b$.
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = c$.

Подставим значения наших корней:

$c = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3$

$-b = x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4$

$b = -4$

Этот способ также дает значения $b=-4$ и $c=3$. Полученные результаты совпадают, что подтверждает корректность наших первоначальных предположений о виде графика.

Проверим также, что точка пересечения с осью Oy для функции $y = x^2 - 4x + 3$ находится при $x=0$, то есть $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Это точка $(0,3)$, что является типичным значением для подобных задач.

Ответ: $b = -4$, $c = 3$.