Номер 29.60, страница 139 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.60*. Нулями квадратичной функции вида $y = 3x^2 + bx + c$ являются числа $-4$ и $5$. Найдите:

а) координаты вершины параболы;

б) ось симметрии параболы;

в) наименьшее значение функции;

г) промежуток убывания функции.

Дана квадратичная функция $y = 3x^2 + bx + c$. Нулями функции, то есть значениями $x$, при которых $y=0$, являются числа $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$.

Зная нули функции и старший коэффициент $a=3$, мы можем записать уравнение параболы в виде, разложенном на множители: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставим известные значения:

$y = 3(x - (-4))(x - 5)$

$y = 3(x + 4)(x - 5)$

Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, раскроем скобки:

$y = 3(x^2 - 5x + 4x - 20)$

$y = 3(x^2 - x - 20)$

$y = 3x^2 - 3x - 60$

Сравнивая с исходным видом $y = 3x^2 + bx + c$, находим, что $b = -3$ и $c = -60$. Теперь, имея полное уравнение функции, мы можем ответить на все поставленные вопросы.

а) координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ можно найти несколькими способами. Абсцисса вершины $x_в$ находится как среднее арифметическое нулей функции:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Также можно использовать формулу $x_в = \frac{-b}{2a}$:

$x_в = \frac{-(-3)}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$

Для нахождения ординаты вершины $y_в$, подставим значение $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = 3 \cdot (0.5)^2 - 3 \cdot (0.5) - 60$

$y_в = 3 \cdot 0.25 - 1.5 - 60$

$y_в = 0.75 - 1.5 - 60 = -0.75 - 60 = -60.75$

Таким образом, координаты вершины параболы равны $(0.5, -60.75)$.

Ответ: $(0.5; -60.75)$

б) ось симметрии параболы

Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение этой прямой имеет вид $x = x_в$.

Поскольку $x_в = 0.5$, уравнение оси симметрии:

$x = 0.5$

Ответ: $x = 0.5$

в) наименьшее значение функции

В уравнении функции $y = 3x^2 - 3x - 60$ коэффициент при $x^2$ равен $a=3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция достигает своего наименьшего значения в вершине.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_в$.

$y_{наим} = y_в = -60.75$

Ответ: $-60.75$

г) промежуток убывания функции

Так как ветви параболы направлены вверх ($a > 0$), функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от неё. Абсцисса вершины $x_в = 0.5$.

Следовательно, функция убывает на промежутке от $-\infty$ до $x_в$.

Промежуток убывания функции: $(-\infty; 0.5]$.

Ответ: $(-\infty; 0.5]$