Номер 29.56, страница 139 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.56*. Найдите ординату вершины параболы, график которой пересекает ось $Oy$ в точке с ординатой 1, симметричен относительно прямой $x + 2 = 0$ и проходит через точку $(2; 7)$.

Запишем уравнение параболы в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины параболы.

Из условия известно, что график параболы симметричен относительно прямой $x + 2 = 0$, то есть прямой $x = -2$. Ось симметрии параболы проходит через ее вершину, следовательно, абсцисса вершины $x_v = -2$.

С учетом этого, уравнение параболы принимает вид: $y = a(x - (-2))^2 + y_v$ $y = a(x + 2)^2 + y_v$

Для нахождения неизвестных параметров $a$ и $y_v$ воспользуемся двумя другими условиями.

Парабола пересекает ось $Oy$ в точке с ординатой 1. Это означает, что график проходит через точку с координатами $(0; 1)$. Подставим эти значения в уравнение параболы: $1 = a(0 + 2)^2 + y_v$ $1 = 4a + y_v$ (1)

Также известно, что парабола проходит через точку $(2; 7)$. Подставим и эти координаты в уравнение: $7 = a(2 + 2)^2 + y_v$ $7 = 16a + y_v$ (2)

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $y_v$: $$ \begin{cases} 4a + y_v = 1 \\ 16a + y_v = 7 \end{cases} $$ Для решения системы вычтем первое уравнение из второго: $(16a + y_v) - (4a + y_v) = 7 - 1$ $12a = 6$ $a = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная $a$, найдем $y_v$ из первого уравнения системы: $4 \cdot (\frac{1}{2}) + y_v = 1$ $2 + y_v = 1$ $y_v = 1 - 2 = -1$

Искомая ордината вершины параболы равна -1.

Ответ: -1.