Номер 29.50, страница 138 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.50*. Число 140 представьте в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна 140. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 140$

Нам необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ будет максимальным.

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:

$y = 140 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию одной переменной:

$P(x) = x \cdot (140 - x)$

$P(x) = 140x - x^2$

Мы получили квадратичную функцию $P(x) = -x^2 + 140x$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума, которая находится в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находят по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $P(x) = -x^2 + 140x$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 140$.

Вычислим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{140}{2 \cdot (-1)} = -\frac{140}{-2} = 70$

Это означает, что при $x = 70$ произведение будет наибольшим. Теперь найдем второе число $y$:

$y = 140 - x = 140 - 70 = 70$

Таким образом, чтобы произведение двух чисел с фиксированной суммой было наибольшим, эти числа должны быть равны. В нашем случае это числа 70 и 70.

Проверим: сумма $70 + 70 = 140$. Произведение $70 \cdot 70 = 4900$. Любая другая пара чисел, дающая в сумме 140 (например, 60 и 80), даст меньшее произведение ($60 \cdot 80 = 4800$).

Ответ: 70 и 70.