Номер 29.51, страница 138 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.51*. На рисунке 16 изображен график функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

Поскольку на изображении представлен только текст задачи без графика функции (рисунка 16), дать однозначный ответ о знаках коэффициентов $a, b$ и $c$ невозможно. Однако можно привести общий алгоритм, по которому определяются их знаки, анализируя график параболы $y = ax^2 + bx + c$.

Определение знака коэффициента a

Знак старшего коэффициента $a$ отвечает за направление ветвей параболы.

Если ветви параболы направлены вверх, то коэффициент $a$ положителен.

Если ветви параболы направлены вниз, то коэффициент $a$ отрицателен.

Ответ: если ветви параболы направлены вверх, то $a > 0$; если ветви направлены вниз, то $a < 0$.

Определение знака коэффициента c

Коэффициент $c$ — это свободный член, который равен значению функции при $x=0$. Геометрически, это ордината точки, в которой парабола пересекает ось ординат ($Oy$).

Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси абсцисс ($Ox$), то есть в области положительных значений $y$, то $c > 0$.

Если парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси абсцисс ($Ox$), то есть в области отрицательных значений $y$, то $c < 0$.

Если парабола проходит через начало координат $(0,0)$, то $c = 0$.

Ответ: знак $c$ определяется по точке пересечения графика с осью $Oy$: если точка пересечения выше оси $Ox$, то $c > 0$; если ниже — $c < 0$; если в начале координат — $c = 0$.

Определение знака коэффициента b

Знак коэффициента $b$ связан с расположением вершины параболы. Абсцисса (координата по $x$) вершины параболы, обозначаемая как $x_0$, находится по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Из этой формулы можно выразить $b$: $b = -2ax_0$. Это означает, что знак $b$ зависит от знаков коэффициента $a$ и абсциссы вершины $x_0$.

1. Определяем знак $a$ по направлению ветвей параболы.

2. Определяем знак $x_0$ по положению вершины параболы относительно оси $Oy$. Если вершина расположена правее оси $Oy$, то $x_0 > 0$. Если левее — $x_0 < 0$. Если вершина лежит на оси $Oy$, то $x_0 = 0$.

3. Находим знак $b$ из соотношения $b = -2ax_0$.

Например, если ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и ее вершина находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), то $b = -2 \cdot (+) \cdot (+) = (-)$, следовательно, $b < 0$.

Если вершина параболы лежит на оси $Oy$, то $x_0 = 0$, и, следовательно, $b = 0$.

Ответ: знак коэффициента $b$ зависит от знаков $a$ и $x_0$ (абсциссы вершины). Знак $b$ противоположен знаку произведения $a \cdot x_0$. Если $x_0=0$, то $b=0$.