Номер 29.43, страница 137 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.43*. Функция задана формулой $f(x) = (1 - x)(x + 5)$. Постройте график этой функции и найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наибольшее значение функции;

г) нули функции;

д) промежутки знакопостоянства функции;

е) промежутки монотонности функции;

ж) ось симметрии параболы;

з) корни уравнения $f(x) = -5$;

и) расстояние от вершины параболы до оси ординат; оси абсцисс; прямой $y = 100$; прямой $x = 9$;

к) расстояние от оси симметрии параболы до прямой $x = -18$.

Дана функция $f(x) = (1 - x)(x + 5)$.

Для начала преобразуем формулу функции, раскрыв скобки, чтобы привести ее к стандартному виду квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:

$f(x) = 1 \cdot x + 1 \cdot 5 - x \cdot x - x \cdot 5 = x + 5 - x^2 - 5x = -x^2 - 4x + 5$.

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$.

$y_в = f(x_в) = f(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

Вершина параболы находится в точке $(-2; 9)$.

Для построения графика также найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY (осью ординат): $x = 0 \implies f(0) = -(0)^2 - 4(0) + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.

Пересечение с осью OX (осью абсцисс), или нули функции: $f(x) = 0$.

$(1 - x)(x + 5) = 0 \implies 1 - x = 0$ или $x + 5 = 0$.

$x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Точки $(-5; 0)$ и $(1; 0)$.

Используя эти ключевые точки (вершина $(-2; 9)$, точки пересечения с осями $(0; 5)$, $(-5; 0)$, $(1; 0)$) и учитывая, что ось симметрии $x = -2$, можно построить график параболы.

а) область определения функции
Функция является многочленом (квадратичной функцией), который определен для любых действительных значений аргумента $x$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции
Так как ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(-2; 9)$, наибольшее значение функции равно 9. Функция принимает все значения от минус бесконечности до 9 включительно.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 9]$.

в) наибольшее значение функции
Наибольшее значение функции достигается в ее вершине и равно ординате вершины $y_в$.
Ответ: $y_{наиб.} = 9$.

г) нули функции
Нули функции - это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Мы уже нашли их при подготовке к построению графика.
$(1 - x)(x + 5) = 0$.
Ответ: $x = -5$, $x = 1$.

д) промежутки знакопостоянства функции
Это промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Используем метод интервалов с нулями функции $x = -5$ и $x = 1$. Ветви параболы направлены вниз.
Функция положительна ($f(x) > 0$) между корнями.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$) вне интервала между корнями.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-5; 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

е) промежутки монотонности функции
Промежутки возрастания и убывания определяются положением вершины параболы, абсцисса которой $x_в = -2$.
До вершины (слева) функция возрастает, после вершины (справа) — убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$; функция убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.

ж) ось симметрии параболы
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину.
Ответ: $x = -2$.

з) корни уравнения $f(x) = -5$
Нужно решить уравнение: $-x^2 - 4x + 5 = -5$.
$-x^2 - 4x + 10 = 0$.
Умножим на -1: $x^2 + 4x - 10 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -2 \pm \sqrt{14}$.
Ответ: $x_1 = -2 - \sqrt{14}$, $x_2 = -2 + \sqrt{14}$.

и) расстояние от вершины параболы до оси ординат; оси абсцисс; прямой $y = 100$; прямой $x = 9$
Координаты вершины $V(-2; 9)$.
- Расстояние до оси ординат (прямой $x=0$) равно модулю абсциссы вершины: $|-2| = 2$.
- Расстояние до оси абсцисс (прямой $y=0$) равно модулю ординаты вершины: $|9| = 9$.
- Расстояние до горизонтальной прямой $y = 100$ равно разности ординат: $|9 - 100| = |-91| = 91$.
- Расстояние до вертикальной прямой $x = 9$ равно разности абсцисс: $|-2 - 9| = |-11| = 11$.
Ответ: до оси ординат – 2; до оси абсцисс – 9; до прямой $y=100$ – 91; до прямой $x=9$ – 11.

к) расстояние от оси симметрии параболы до прямой $x = -18$
Ось симметрии параболы задается уравнением $x = -2$. Требуется найти расстояние между двумя параллельными прямыми $x = -2$ и $x = -18$.
Расстояние равно модулю разности их координат: $|-2 - (-18)| = |-2 + 18| = |16| = 16$.
Ответ: 16.