Номер 29.40, страница 137 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.40. Найдите координаты точки графика квадратичной функции $y=-x^2-2x+2$, симметричной относительно оси симметрии графика его точке с абсциссой, равной 5.

Данная задача состоит из трех основных шагов: нахождение оси симметрии параболы, определение координат исходной точки и нахождение координат симметричной ей точки.

1. Нахождение оси симметрии графика функции.
Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Ее ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы. Абсцисса вершины $x_0$ (и уравнение оси симметрии $x = x_0$) вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ Для нашей функции $y = -x^2 - 2x + 2$ коэффициенты равны: $a = -1$, $b = -2$, $c = 2$. Подставим эти значения в формулу: $x_0 = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$ Таким образом, осью симметрии графика является прямая $x = -1$.

2. Нахождение координат исходной точки.
Нам дана точка на графике, абсцисса (координата $x$) которой равна 5. Найдем ее ординату (координату $y$), подставив $x = 5$ в уравнение функции: $y = -(5)^2 - 2(5) + 2 = -25 - 10 + 2 = -33$ Итак, координаты исходной точки, назовем ее $A$, равны $(5, -33)$.

3. Нахождение координат симметричной точки.
Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B)$. Точки $A(5, -33)$ и $B(x_B, y_B)$ симметричны относительно прямой $x = -1$.
При симметрии относительно вертикальной прямой ординаты точек остаются неизменными. Следовательно, $y_B = -33$.
Абсцисса оси симметрии является средним арифметическим абсцисс симметричных точек: $x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$ Подставим известные значения и найдем $x_B$: $-1 = \frac{5 + x_B}{2}$ Умножим обе части на 2: $-2 = 5 + x_B$ Отсюда: $x_B = -2 - 5 = -7$ Следовательно, координаты искомой точки равны $(-7, -33)$.

Ответ: $(-7, -33)$