Номер 2.155, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.155. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень:

а) $5x - 2xy^2 + 3x - 7xy^2$;

б) $9c^2 - 2a + a - 8c^2 - a - c^2$;

в) $mm + 8m - 9mm + m$;

г) $5x^2y + 6y^2x - yx \cdot x + 2yxy.$

Можно ли определить степень многочлена, не приводя его к стандартному виду?

а) $5x - 2xy^2 + 3x - 7xy^2$

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно сгруппировать и сложить подобные члены. Подобными являются члены с одинаковой буквенной частью.

Группируем подобные члены:

$(5x + 3x) + (-2xy^2 - 7xy^2)$

Выполняем сложение в каждой группе:

$8x - 9xy^2$

Стандартный вид многочлена предполагает запись его членов в порядке убывания их степеней. Получаем: $-9xy^2 + 8x$.

Степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов. Степень члена $-9xy^2$ равна сумме показателей степеней переменных: $1 + 2 = 3$. Степень члена $8x$ равна 1. Наибольшая из этих степеней — 3.

Ответ: Стандартный вид: $-9xy^2 + 8x$, степень многочлена: 3.

б) $9c^2 - 2a + a - 8c^2 - a - c^2$

Группируем и складываем подобные члены:

$(9c^2 - 8c^2 - c^2) + (-2a + a - a)$

Выполняем сложение в каждой группе:

$(9-8-1)c^2 + (-2+1-1)a = 0 \cdot c^2 - 2a = -2a$

Стандартный вид многочлена: $-2a$.

Степень многочлена равна степени его единственного члена $-2a$, которая равна 1.

Ответ: Стандартный вид: $-2a$, степень многочлена: 1.

в) $mm + 8m - 9mm + m$

Сначала упростим запись членов: $mm = m^2$. Выражение примет вид: $m^2 + 8m - 9m^2 + m$.

Группируем и складываем подобные члены:

$(m^2 - 9m^2) + (8m + m) = (1-9)m^2 + (8+1)m = -8m^2 + 9m$

Стандартный вид многочлена: $-8m^2 + 9m$.

Степень члена $-8m^2$ равна 2, а степень члена $9m$ равна 1. Наибольшая степень — 2.

Ответ: Стандартный вид: $-8m^2 + 9m$, степень многочлена: 2.

г) $5x^2y + 6y^2x - yx \cdot x + 2yxy$

Сначала приведем каждый член к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке и выполнив умножение:

• $6y^2x = 6xy^2$
• $yx \cdot x = yx^2 = x^2y$
• $2yxy = 2xy^2$

Теперь выражение выглядит так: $5x^2y + 6xy^2 - x^2y + 2xy^2$.

Группируем и складываем подобные члены:

$(5x^2y - x^2y) + (6xy^2 + 2xy^2) = (5-1)x^2y + (6+2)xy^2 = 4x^2y + 8xy^2$

Стандартный вид многочлена: $4x^2y + 8xy^2$.

Степень члена $4x^2y$ равна $2+1=3$. Степень члена $8xy^2$ равна $1+2=3$. Наибольшая степень — 3.

Ответ: Стандартный вид: $4x^2y + 8xy^2$, степень многочлена: 3.

Можно ли определить степень многочлена, не приводя его к стандартному виду?

Нет, определять степень многочлена без приведения его к стандартному виду нельзя, так как это может привести к ошибке. Для корректного определения степени необходимо сначала сложить все подобные члены. Это связано с тем, что члены с наибольшей степенью могут взаимно уничтожиться (их сумма окажется равной нулю), и в результате степень многочлена будет ниже, чем казалось изначально.

Яркий пример — пункт б) из этого задания: $9c^2 - 2a + a - 8c^2 - a - c^2$. На первый взгляд, наивысшая степень равна 2 (у членов с $c^2$). Однако при приведении к стандартному виду эти члены сокращаются ($9c^2 - 8c^2 - c^2 = 0$), и итоговый многочлен $-2a$ имеет степень 1.

Ответ: Нет, так как при приведении подобных членов, члены с наивысшей степенью могут взаимно уничтожиться.